Fórmula de enumeración de Pólya e isómeros

Question

El hidrocarburo benceno tiene seis átomos de carbono dispuestos en los vértices de un hexágono regular, y seis átomos de hidrógeno, con uno unido a cada átomo de carbono.

Sé que se dice que dos moléculas son isómeras si están compuestas del mismo número y tipo de átomos, pero tienen una estructura diferente.

¿Cuántos isómeros pueden obtenerse sustituyendo dos de los átomos de hidrógeno por átomos de cloro y otros dos por átomos de bromo?

Demuestre que se pueden construir exactamente tres isómeros (orto-diclorobenceno, meta-di-clorobenceno y para-diclorobenceno) sustituyendo dos de los átomos de hidrógeno del benceno por átomos de cloro.

Hasta ahora no he acabado en ningún sitio, agradecería la ayuda.

Answer 1

Para el problema de contar el número de anillos de benceno distintos con $2~$ hidrógeno, $2~$ cloro y $2~$ átomos de bromo adheridos, bajo el grupo de simetría de los diedros y utilizando el método de Pólya (que no supone una gran mejora respecto al recuento bruto en este caso), se puede razonar como sigue El $12$ -tiene como clases de conjugación: la identidad de un solo elemento, dos rotaciones de orden $~6$ , dos de orden $~3$ , una única rotación de orden $~2$ (menos la identidad), y dos clases de $3~$ reflexiones cada uno.

Necesitamos sumar sobre todas estas simetrías el número de configuraciones (no de clases de configuraciones) invariantes bajo la simetría (por lo que tienen al menos esa simetría). Para la identidad basta con contar todas las configuraciones, que son $\binom6{2,2,2}=90$ en número. Todas las simetrías de orden $~2$ resulta que tiene al menos $2$ órbitas de longitud $~2$ para cada uno de los cuales hay que fijar el mismo átomo en sus elementos, y el resto $2$ los elementos también tienen necesariamente los mismos dos átomos (restantes) unidos. El da $3!=6$ configuraciones para cada uno de esos $~7$ simetrías, y $42$ en total. Las otras simetrías tienen alguna órbita más larga que $~2$ , lo que hace imposible que una de nuestras configuraciones sea fijada por ellas. Así que sumando y dividiendo por el orden del grupo se obtiene $\frac{90+42}{12}=11$ como respuesta. Esto coincide con la enumeración de Hagen von Eitzen.

Answer 2

En el caso del diclorbenceno, observe que los dos átomos de cloro pueden ser adyacentes o estar diagonalmente opuestos o a la distancia 2.

Las posibles distribuciones de cloro y bromo son (hasta la rotación y la reflexión)

• Cl Cl Br Br H H
• Cl Cl Br H Br H
• Cl Cl Br H H Br
• Cl Cl H Br Br H
• Cl Br Cl Br H H
• Cl Br Cl H Br H
• Cl H Cl Br Br H
• Cl H Cl Br H Br
• Cl Br Br Cl H H
• Cl Br H Cl Br H
• Cl Br H Cl H Br

Answer 3

Esto es como lo que hicimos aquí . Dibuja el hexágono básico del benceno y por ahora no rellenes las ranuras donde se unen los átomos de hidrógeno. Ahora estudia los automorfismos del hexágono de benceno. Podrías pensar que, por ejemplo, una rotación que mapea un átomo de carbono a su vecino en el sentido de las agujas del reloj es un automorfismo, pero eso sería un error, porque no tiene en cuenta los enlaces simples y dobles. Los dobles enlaces deben asignarse a los dobles enlaces, y esto simplifica las cosas considerablemente.

Se deduce que el grupo de automorfismo $G$ de este compuesto se genera mediante una rotación de 120 grados y tres giros sobre los ejes que pasan por los centros de los enlaces simples-dobles opuestos. No es difícil ver que una serie de rotaciones se simplifica en realidad a una sola rotación, que dos giros se anulan entre sí y que dos giros con rotaciones entre ellos dan lugar a una rotación. Esto significa que hemos cubierto todos los $G$ .

Ahora las tres vueltas tienen estructura de ciclo $a_2^3$ y las dos rotaciones, $a_3^2$ , dando el índice de ciclo $$ Z(G) = \frac{1}{6} \left( a_1^6 + 3 a_2^3 + 2 a_3^2 \right).$$

La función generadora base para la primera pregunta es $H + Cl + Br,$ que sustituimos en el índice del ciclo, obteniendo $$1/6\, \left( H+{\it Cl}+{\it Br} \right) ^{6}+1/2\, \left( {H}^{2}+{{ \it Cl}}^{2}+{{\it Br}}^{2} \right) ^{3}+1/3\, \left( {H}^{3}+{{\it Cl }}^{3}+{{\it Br}}^{3} \right) ^{2}$$ De ello se deduce que el número de isómeros con dos átomos de hidrógeno, dos átomos de cloro y dos átomos de bromuro es de 18 (extraer el coeficiente de $H^2 Cl^2 Br^2$ ).

Obtengo cuatro isómeros diferentes de diclorobenceno (de nuevo extrayendo los coeficientes, esta vez para $H^4 Cl^2$ ). Estos son: 1, dos átomos de cloro unidos a dos átomos de carbono con un doble enlace entre ellos, 2, igual, pero con un enlace simple entre los átomos de carbono, 3, con un átomo de carbono entre ellos y 4, con dos átomos de carbono entre ellos (en el número 3, el ángulo entre los dos átomos de cloro es de 120 grados y en el número 4, de 180 grados). No soy químico y he buscado esto. Resulta que el diclorobenceno 1-2 no existe como isómero con un solo enlace entre los átomos de carbono a los que están unidos los átomos de cloro. Por qué es eso no lo sé.