¿Cuál es el valor de $\int_{0}^{+\infty}e^{x^2(1-2\Phi(x\sqrt{2}))}dx$ ?

Question

He encontrado la siguiente integral cuando he tratado de saber más sobre la relación entre la función de error y la FCD de la distribución normal, he introducido esta integral en wolframio alfa+)++,+x%3D0+to+infty) pero no hay resultado , pero algunos de mis más débiles gaven asegurar que es convergentes, entonces mi pregunta aquí es lo que es el valor de :

$$\int_{0}^{+\infty}e^{x^2(1-2\Phi(x\sqrt{2}))}dx$$

Con : $\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-z^2/2} \mathrm{d}z.$

Answer 1

Si necesita una respuesta simbólica, creo que no tiene suerte. Yo haría una integración numérica. En R:

 f  <-  function(x) exp(x^2*(1-2*pnorm(x*sqrt(2))))
 integrate(f, lower=0, upper=+Inf)
0.972107 with absolute error < 2.2e-06

Answer 2

Una pista: Una idea que me viene a la mente, sólo para utilizar la identidad gaven arriba por Bridgeburners que mostró la relación entre la función de error y la función de distribución CDF, he obtenido la siguiente identidad :

$$\int_{0}^{+\infty}e^{x^2(1-2\Phi(x\sqrt{2}))}dx=\int_{0}^{+\infty} {(e^{-x²})}^{\text{erf}{(x)}}dx \tag{1}$$ .

El RHS de $(1)$ es convergente y wolfram alfa dice%5E(erf(x))dx+,+x%3D0+to+infty) es decir: $0.97210699\cdots$