Soluciones intervalos de una ecuación diferencial

Question

No puedo entender la diferencia entre estos dos Odas en términos de los intervalos en los que las soluciones se definen

$y' y=(x+1)$

$y'=\frac{x+1}{y}$

La ecuación es en realidad el mismo, pero en el primer caso para $y=0$ I get $x=-1$ y no veo cuál es el problema en ese punto, mientras que en el segundo es necesario imponer $y\neq 0$ del curso.

¿Qué significa eso? Son las soluciones diferentes para los dos ecuaciones? Si sí, ¿en qué se diferencian?

Muchas gracias por su ayuda

Answer 1

RESPUESTA CORTA: En la primera ecuación, $x=-1,\ y=0$ parece ser una solución. Sería, si $y'$ también fueron definidos. Sin embargo, si $y=0$ cualquier $x$ $y'$ será indefinido allí, así que no es realmente una solución. Las únicas restricciones en su segunda ecuación se $y=0$ y el tanto $y$ $y'$ son definidos, por lo que las soluciones de las ecuaciones de hecho, el mismo.

ALGUNOS DETALLES: Usted ya sabe que la separación de variables nos da la solución de la primera ecuación:

$$y=\pm\sqrt{x^2+2x+C}$$

para algunas constante real $C$. La derivada de esto es

$$y'=\pm\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+C}}=\pm\frac{x+1}y$$

Así vemos que para cualquier $x$ si $y=0$ $y'$ es indefinido. Dependiendo de los valores de $x$ $C$ $y$ sí no puede ser definido, y vemos las mismas condiciones para ambos $y$ $y'$ a existir también son condiciones para su segunda ecuación a tener sentido. Por tanto, las soluciones a estas ecuaciones son exactamente los mismos.

Aquí es otra forma de mirarlo. Parece que $x=-1,\ y=0$ debe ser una solución a su primera ecuación. Sin embargo, tan pronto como $x$ se mueve lejos de la $-1$ $y$ no puede ser cero. Como vamos a ver cómo rápidamente $y$ debe alejarse de cero, vemos que la demanda de la tasa de cambio de $y$ son demasiado contradictorio para satisfacer su primera ecuación. Así que nuestra solución aparente $x=-1,\ y=0$ no era en realidad una solución.

Veamos más a $y'$. Si sustituimos $x=-1,\ y=0$ en nuestra solución $y=\pm\sqrt{x^2+2x+C}$ obtenemos $C=1$. Así que la función(s) es/son en realidad

$$y=\pm\sqrt{x^2+2x+1}=\pm\sqrt{(x+1)^2}=\pm|x+1|$$

Estoy seguro de que usted sabe que el valor absoluto de la función no tiene derivada en cero, ya que la mano izquierda y la mano derecha de los derivados no son iguales. Como ya he dicho, la demanda de la tasa de cambio de $y$ donde $y=0$ son inconsistentes, por lo $y'$ no existe.

Answer 2

$$yy' = x+1$$ $$y^2 = (x+1)^2+C.$$ $$y = \pm\sqrt{(x+1)^2+C},\quad(x+1)^2 + C \geq 0.$$ O: $$y = \pm\sqrt{(x+1)^2+C},$$ $$x\in \begin{cases} (-\infty, +\infty),\text{ if }C \geq -1\\[3pt] \left(-\infty. -\sqrt{-C}-1\right)\, \cup (\sqrt{-C}-1, +\infty),\text{ if }C <-1. \end{casos}$$