¿Qué es un Momento de Generación de Función (MGF)?
Se puede explicar en términos sencillos y con un sencillo y fácil ejemplo?
Por favor, limite el uso formal de las matemáticas notaciones en la medida de lo posible.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Antoni Parellada
Puntos
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Supongamos que una ecuación libre de la intuición no es posible, y aún así insiste en ebullición por la matemática a la muy esencial para tener una idea de lo que está pasando: estamos tratando de obtener los momentos estadísticos, que, después de la obligada referencia a la física, se define como el valor esperado de la potencia de una variable aleatoria. Para una variable aleatoria continua, la cruda $k$-ésimo momento es por LOTUS:
\begin{align}\large \color{red}{\mathbb{E}\left[{X^k}\right]} &= \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\color{blue}{X^k}\,\,\color{green}{\text{pdf}}\,\,\,dx\tag{1}\end{align}
El momento de generación de función, $M_X(t)$, es una manera de caminar alrededor de esta integral , en su lugar, la realización de:
\begin{align} \large \color{blue}{\mathbb{E}\left[e^{\,tX}\right]}&=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\color{blue}{e^{tX}}\,\color{green}{\text{pdf}}\, dx\tag{2}\end{align}
Por qué? Porque es más fácil y hay una fantástica propiedad de la MGF que puede ser visto por la expansión de la serie de Maclaurin de $\color{blue}{e^{\,tX}}$ dentro de la expectativa de operador:
$$M_X(t) = 1 + \frac{\color{red}{\mathbb{E} \left[X\right]}}{1!} \, t \, + \frac{\color{red}{\mathbb{E} \left[X^2\right]}}{2!} \, t^2 \, + \frac{\color{red}{\mathbb{E} \left[X^3\right]}}{3!} \, t^3 \, + \cdots\tag{3}$$
es decir, los momentos que parecen "posado" en este polinomio "tendedero", listo para ser desechadas por la simple diferenciación $k$ veces y evaluando en cero una vez que pasamos a través de la integración más fácil solo una vez para todos los momentos!
El hecho de que es una más fácil integración es más evidente cuando el pdf es una exponencial.
El hecho de que, finalmente, no es necesario diferenciar hace un almuerzo gratis en la final es un Laplaciano de transformación.
Este, en efecto, nos da una física de la avenida de la intuición. La transformada de Laplace está actuando en el $\color{green}{\text{pdf}}$ y la descomposición de a momentos. La similitud con una transformada de Fourier es ineludible: un FT asigna una función a una nueva función en la recta real, y mapas de Laplace de una función para una nueva función en el plano complejo. La transformada de Fourier expresa una función o señal como una serie de frecuencias, mientras que la transformada de Laplace se resuelve una función en sus momentos. De hecho, una forma diferente de obtener momentos es a través de una transformada de Fourier (función característica). El término exponencial de la transformada de Laplace es, en general, de la forma$e^{-st}$$s=\sigma + i\,\omega$, correspondiente a la real exponenciales y lo imaginario senoidales, y cediendo parcelas como este:
[Desde que El Científico y el Ingeniero de Guía para el Procesamiento de la Señal de Steven W. Smith]
Así que podemos estar permitido imaginar que el $M_X(t)$ función descompone el $\text{pdf}$ de alguna manera en su "constituyente frecuencias" tal y como se recoge en la Eq $(3)$?
En respuesta a la pregunta en la sección de comentarios acerca de la conmutación de$X^k$$e^{tx}$, esto es completamente un movimiento estratégico: una expresión que no se sigue de la otra. Aquí está una analogía: Tenemos un coche de nuestra propia y somos libres para conducir en la ciudad cada vez que tenemos que cuidar de algún negocio (leer, la integración de la Eq $(1)$ sin importar lo difícil que para cada una, de un solo momento). En su lugar, podemos hacer algo completamente diferente: nos puede conducir a la estación de tren más cercana (leer, resolver Eq $(2)$ sólo una vez), y desde allí acceder al transporte público para llegar a cada lugar que debemos visitar (leer, se $k$ derivado de la integral en la ecuación $(2)$ a un extracto de lo $k$-ésimo momento necesitamos, saber (gracias a Eq $(3)$) que todos los momentos están "escondidos" en la que hay y aislado por la evaluación en $0$).
