De un haz vectorial a un complejo de Koszul

Question

Dejemos que $k = \mathbb C$ . Dado un conmutador $k$ -Álgebra $A$ , un $A$ -Módulo $M$ y un homomorfismo de $A$ -módulos $s:M \to A$ podemos construir el álgebra de Koszul dg. $$K(A,M,s) = \wedge^{-\!*}_A(M)$$ (Aquí el complejo se concentra en grados no positivos).

Según Toen dado un haz vectorial $V$ en $X (:=\mathrm{Spec}A)$ y una sección $s:X \to V$ podemos construir un complejo de Koszul $K(A,M,s)$ , donde $M=\Gamma(X,V)$ . Pero la sección no parece dar ningún homomorfismo $s:M \to A$ a menos que elijamos una métrica sobre $V$ .

Pregunta: ¿cómo podemos definir naturalmente un homomorfismo $\Gamma(X,V) \to A$ a partir de una scción de $V$ ?

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}$$ |DeclareMathOperator{{Hom}{Hom} $$\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}$ Mirando a través de su fuente, esto parece ser la configuración: Deja que $A$ sea un anillo, $X = \Spec(A)$ , $M$ un $A$ -módulo. Entonces $\Sym_A(M)$ es un (conmutativo) $A$ -y el conjunto $V = \Spec(\Sym_A(M))$ que es un esquema sobre $X$ es decir, tiene un mapa de estructura $\pi : V \to X$ (inducido por el mapa de anillos $A \to \Sym_A(M)$ ).

Ahora dando un $A$ -mapa del módulo $M \to A$ equivale a dar un $A$ -mapa de álgebra $\Sym_A(M) \to A$ por la propiedad universal de $\Sym$ . Pero esto a su vez equivale a dar un morfismo de esquemas sobre $X$ de $\Spec(A) \to \Spec(\Sym_A(M))$ es decir, una sección $X \to V$ . Así, las secciones $s : X \to V$ equivalen a $A$ -Mapas del módulo $M \to A$ .