Multiplicativo de Möbius de la inversión de la fórmula.

Question

Hay una muy simple prueba de Möbius de la inversión de la fórmula a través de la convolución:

Si $A$ es un UFD y $B$ es un anillo, $f,g:A\rightarrow B$ dos funciones, entonces

$$(f\ast g)(n) = \sum_{k\cdot l = n}f(k)\cdot g(l)$$ makes the set of functions into a ring with identity $\delta_1$.

En este caso la función de Möbius, la asignación de 0 a todos los $n\in A$ que no está la plaza libre, 1 plaza libre de elementos que son el producto de un número par de números primos y de -1 a plaza de los productos libres de número impar de números primos, es una función inversa de la función constante 1. A continuación, el Möbius de la inversión de la fórmula

$$f(n) = \sum_{d|n} g(d)\Longrightarrow g(n) = \sum_{d|n}f(d)\mu\left(\frac{n}{d}\right)$$

es simplemente otra manera de escribir

$$f = g\ast 1\Longrightarrow g = f\ast \mu.$$

Es allí una manera similar generales y elegante, enfoque a la multiplicación de la fórmula

$$f(n) = \prod_{d|n}g(d)\Longrightarrow g(n) = \prod_{d|n} f(d)^{\mu(n/d)}?$$

Gracias.

Answer 1

Por supuesto que hay: $$\tag1 \ln f=\ln g *1\Rightarrow \ln g=\ln f *\mu.$$

Al menos esto funciona si podemos tomar logaritmos en $B$. De lo contrario, tenemos que cambiar a un diferentes anillo:

Suponga $B$ es un conmutativa anillo con unidad. Deje $C$ el conjunto de las permutaciones de mapas de $\sigma \colon B^\times\to B^\times$ de las unidades con $\sigma(1)=1$. A continuación, $C$ es un anillo con pointwise la multiplicación como la adición, con la composición como en la multiplicación, de la identidad como un y $x\mapsto 1$ cero. Por otra parte, podemos hacer un mapa de $\mathbb Z\to C$ través $n\mapsto(x\mapsto x^n)$ y considerar la posibilidad de $B^\times$ como un subconjunto de a $C$ través $b\mapsto(x\mapsto b x)$. Ahora si $f,g\colon A\to B$ son dos funciones con rango de realidad en $B^\times\subseteq C$, $f=g*1\Rightarrow g=f*\mu$ es la multiplicación de la inversión de la fórmula $$\tag2 f(n)=\prod_{d|n}g(d)\Rightarrow g(n)=\prod_{d|n}f(d)^{\mu(\frac nd)}.$$

¿Qué se puede hacer si los rangos de $f,g$ son no contenida en $B^\times$? Entonces esperemos que $B$ es de al menos un integrante de dominio y reemplace $B$ con su cociente de campo.

Su ejemplo específico es con polinomios, es decir, la integral de dominio $\mathbb Z[X]$, por lo que los pasos anteriores funcionan bien. En ese caso, tal vez el siguiente es más intuitiva: Podemos interpretar los polinomios como funciones de $\mathbb C\to \mathbb C$. Fuera de sus raíces, podemos tomar (varios valores) logaritmo, por lo tanto se puede aplicar a $(1)$ pointwise y obtener la conclusión, en $(2)$ pointwise para todos, pero un número finito de puntos de $\in\mathbb C$, por lo tanto $(2)$ también como un todo.