El seguimiento de JJacquelin la respuesta y no garantiza que no se cometan errores
están hechas.
Tenemos
\begin{equation*}
\partial _{Y}(1+\partial _{X})g+(c_{1}+c_{2}e^{X-2Y})g
\end{ecuación*}
Si pones $u=X-2Y$ \, a continuación,
\begin{equation*}
\partial _{Y}(1+\partial _{u})g+(c_{1}+c_{2}e^{u})g=0
\end{ecuación*}
Ahora vamos a $h=e^{u}g$
\begin{equation*}
(1+\partial _{u})e^{-u}h=e^{-u}\partial _{u}h
\end{ecuación*}
\begin{equation*}
\partial _{Y}\partial _{u}h=-(c_{1}+c_{2}e^{u})h
\end{ecuación*}
Luego poner $h=m(Y)n(u)$. Entonces
\begin{eqnarray*}
\partial _{Y}\ln m(Y)\partial _{u}\ln n(u) &=&-(c_{1}+c_{2}e^{u}) \\
\partial _{Y}\ln m(Y) &=&-\frac{(c_{1}+c_{2}e^{u})}{\partial _{u}\ln n(u)}=M
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
m(Y) &=&\exp [MY] \\
\partial _{u}\ln n(u) &=&-M^{-1}(c_{1}+c_{2}e^{u}) \\
n(u) &=&\exp [-M^{-1}(c_{1}u+c_{2}e^{u})]
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
g &=&e^{-u}\exp [MY]\exp [-M^{-1}(c_{1}u+c_{2}e^{u})] \\
u &=&X-2Y
\end{eqnarray*}
Edit: hubo algunos errores. A continuación un nuevo intento.
Con
\begin{equation*}
h(X,Y)=e^{X}g(X,Y)
\end{ecuación*}
tenemos
\begin{equation*}
\partial _{Y}\partial _{X}h(X,Y)=(c_{1}+c_{2}e^{X-2Y})h(X,Y)
\end{ecuación*}
Nuevas variables
\begin{equation*}
U=X-2Y,\;V=X+2Y
\end{ecuación*}
A continuación, ($\left. {}\right\vert _{W}$ es la derivada parcial con $W$
mantiene constante)
\begin{eqnarray*}
\left. \partial _{X}\right\vert _{Y} &=&\left. \partial _{U}\right\vert
_{V}+\left. \partial _{V}\right\vert _{U},\;\left. \partial _{Y}\right\vert
_{X}=-2\{\left. \partial _{U}\right\vert _{V}-\left. \partial
_{V}\right\vert _{U}\} \\
(\left. \partial _{X}\right\vert _{Y})\left. \partial _{Y}\right\vert _{X}
&=&2\{\left. \partial _{V}\right\vert _{U}^{2}-\left. \partial
_{U}\right\vert _{V}^{2}\}
\end{eqnarray*}
Con
\begin{equation*}
h(X,Y)=k(U,V)
\end{ecuación*}
entonces tenemos
\begin{equation*}
2\{\left. \partial _{V}\right\vert _{U}^{2}-\left. \partial _{U}\right\vert
_{V}^{2}\}k(U,V)=(c_{1}+c_{2}e^{U})k(U,V)
\end{ecuación*}
Ahora intenta
\begin{equation*}
k(U,V)=m(U)n(V)
\end{ecuación*}
Entonces, la omisión de los subíndices en los derivados,
\begin{eqnarray*}
m(U)\partial _{V}^{2}n(V)-\partial _{U}^{2}m(U)n(V) &=&\frac{1}{2}%
(c_{1}+c_{2}e^{U})m(U)n(V) \\
\frac{\partial _{V}^{2}n(V)}{n(V)}-\frac{\partial _{U}^{2}m(U)}{m(U)} &=&
\frac{1}{2}(c_{1}+c_{2}e^{U}) \\
\frac{\partial _{V}^{2}n(V)}{n(V)} &=&\frac{\partial _{U}^{2}m(U)}{m(U)}+
\frac{1}{2}(c_{1}+c_{2}e^{U})=M
\end{eqnarray*}
donde $M$ es una separación constante. Por lo tanto
\begin{eqnarray*}
\partial _{V}^{2}n(V) &=&Mn(V) \\
\partial _{U}^{2}m(U) &=&\{M-\frac{1}{2}(c_{1}+c_{2}e^{U})\}m(U)
\end{eqnarray*}
