He leído que gracias a Riemann-Roch teorema, si consigue $\Sigma$ una compacta Superficie de Riemann de género $g$ existe una conformación de la rama cubriendo $\phi: \Sigma \rightarrow S^2$ de grado menor que $g+1$. Por desgracia me he encontrado muy abstracto referencias que no implica claramente este hecho. ¿alguien puede explicar esto a mí? Idealmente con una referencia básica.
Respuesta
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Deje $D$ ser una colección finita de $d$$\Sigma$. El RR teorema de la muestra que el espacio vectorial de meromorphic funciones en $\Sigma$, en el peor de los casos un simple polo en cada una de las $D$ tiene dimensión $\geq d + 1 - g$, $> 1$ si $d > g$. Por lo tanto (la elección de cualquier $D$$d > g$) este espacio contiene un no-constante de meromorphic la función $f$. (La constante de funciones contribuir a sólo una dimensión.) Desde $f$ tiene más de $d$ simple polos, se induce un grado $\leq d$ ramificados cubriendo $\Sigma \to \mathbb C P^1$.
