La convergencia de las expectativas

Question

Supongamos que tenemos $X_n \overset{D}\to X$ para algunos secuencia $X_{1},\dotsc, X_{n}$. Es el caso que si $E(X_{n}^2) \to E(X^2)$ tenemos que $E(X_n) \to E(X)$, y cuando se mantenga?

Mi primer pensamiento es que ya tenemos $E(X_{n}^2) \to E(X^2)$ y la convergencia en distribución, de alguna manera podría tener la convergencia en media cuadrática que implicaría tenemos la convergencia en media.

Answer 1

Podemos tener una secuencia $(X_n)_{n\geqslant 1}$ que converge en probabilidad a$0$, pero tal que $\lim_{n\to +\infty}\mathbb E\left[X_n^2\right]$ no $0$. Por ejemplo, consideremos el conjunto de los enteros positivos y la probabilidad de medir $\mathbb P\{k\}=2^{-k}$, $k\geqslant 1$. A continuación, defina la variable aleatoria $X_n:=c_n\mathbb 1\{j\geqslant n\}$ donde $\mathbf 1$ denota la función de indicador. Para cualquier elección de $c_n$, la secuencia de $(X_n)$ converge en probabilidad a $0$. Pero dado positivos $\lambda$, se puede elegir la secuencia de $(c_n)$ tal que $\mathbb E\left[X_n^2\right]=\lambda$. Con otras opciones de $(c_n)$, la secuencia de $\left(\mathbb E\left[X_n^2\right]\right)$ incluso puede ser ilimitada, o osciló entre dos o más valores.

Sin embargo, si $\lim_{R\to +\infty}\sup_{n\geqslant 1}\mathbb E\left[X_n^2\mathbf 1\{X_n^2\geqslant R \}\right]$ (integrabilidad uniforme), entonces tenemos $\mathbb E\left[X_n^2\right]\to \mathbb E\left[X^2\right]$.