¿Hay una teoría de conjunto en el que los reales no son un conjunto pero son los números naturales?

Question

¿Hay algún conocido axiomatization de la teoría de conjuntos en la que los números reales no son un conjunto, pero los números naturales y otros conjuntos infinitos no existen?

Que tal teoría tendría un Axioma del Infinito, pero no un Axioma de juego de Poder. Sé que Kripke-Platek la teoría de conjuntos no tiene ningún Axioma de juego de Poder, pero no me queda claro si los números reales existe como un conjunto en esta teoría o no.

En el tipo de la teoría de conjuntos estoy imaginando, los números reales existiría como una clase, como la clase de todos los subconjuntos de los números naturales, y que podría ser el equivalente a la clase de todos los ordinales, por ejemplo.

Una de las ventajas de este tipo de conjunto de la teoría sería que se podría admitir el Axioma de Elección, y el buen orden Teorema de todos los conjuntos, sin tener que admitir el buen orden de los reales o los de Banach-Tarski paradoja.

Answer 1

También hay Bolsillo de la teoría de conjuntos. En esta teoría de conjuntos, conjuntos infinitos existe, y todos ellos son equinumerous. Así que cada conjunto infinito es contable. Pero los reales existen como una clase adecuada. Este es un de segundo orden de la teoría en el sentido de que los objetos son clases, y los conjuntos de clases, que son elementos de otras clases.

En algún sentido esta teoría es de alguna manera relacionados con el tercer orden de la aritmética. Hay conjuntos de números naturales son todavía los objetos, y que podemos cuantificar sobre los conjuntos de conjuntos de números naturales (que en el Bolsillo de la teoría de conjuntos de hacer un buen clases).

Answer 2

En KP, no hay necesidad de ser un conjunto de todos los números reales. El ejemplo canónico de esto es $L_{\omega_1^{CK}}$, en el primer nivel de Gödel edificable universo que satisface $KP$. Hay reales con $L$-rango alto de manera arbitraria por debajo de $\omega_1^{CK}$, por lo que cualquier conjunto de reales en $L_{\omega_1^{CK}}$ no es el conjunto de todos los reales en $L_{\omega_1^{CK}}$.

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EDIT: por supuesto, $L_{\omega_1}$ también tiene esta propiedad, como lo hace la $L_\alpha$ para muchas contables $\alpha$s. Sin embargo, si $L_\alpha$ es el Mostwoski colapso de una escuela primaria de la subestructura de $L_{\omega_2}$ (por ejemplo), a continuación, $L_\alpha$ va a pensar que no es un conjunto de todos los reales, incluso si $\alpha$ es contable - básicamente, hay mucho "huecos" en el contable ordinales donde no hay nuevos reales de entrar a $L$.

Answer 3

Creo que usted puede tomar ZFC sin el poder conjunto de axiomas.

La cosa principal que usted todavía desea utilizar para la construcción de un producto Cartesiano, pero que todavía se puede hacer en pasos más pequeños mediante la Sustitución.

Y si su metatheory es lo suficientemente ZFC-como el conjunto de hereditariamente contable establece que debe ser un modelo, asegurando que usted puede tener todos los de su costumbre de reales (es decir, como Dedekind cortes) sin llegar conjunto de todos ellos se obligó a sí mismo a través de alguna puerta trasera.

Lo que esto no es una garantía de que todos apropiado clases son equivalentes, pero si usted desea, puede agregar que, como un axioma para NBG$-$P, y, a continuación, hacer un modelo de trabajo dentro de la edificable universo y tomar el conjunto de todos los hereditariamente contable de conjuntos, además de todos sus subconjuntos. Esto le da aún todos los reales que usted podría desear (aunque tal vez no todos los que había, para empezar).