Dado un espacio de Banach de dimensión infinita $X$ me gustaría construir una secuencia de vectores unitarios linealmente independientes tal que $\|u_k-u_l\|\geqslant 1$ siempre que $k\neq l$ . ¿Alguna idea de cómo realizarlo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Joe Lencioni
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Se puede hacer con bastante facilidad en cualquier espacio normado de dimensión infinita $X$ . Para una prueba, véase Lema 1.4.22 en la obra de Robert E. Megginson Introducción a la teoría de los espacios de Banach .
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¿Te conformarías con $\|u_k-u_l\|\geq 1-\varepsilon$ ? math.stackexchange.com/questions/4815/ math.stackexchange.com/questions/163500/
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Elton y Odell demostraron que en un espacio lineal normado de dimensión infinita, existe un $\epsilon>0$ y una secuencia $(x_n)$ de vectores unitarios que satisfacen $\Vert x_n-x_m\Vert\ge 1+\epsilon$ para $n\ne m$ . Este (difícil resultado) puede encontrarse en el último capítulo de la obra de Joseph Diestel Secuencias y series en espacios de Banach . En el capítulo uno del mismo libro, se demuestra, de forma bastante sencilla (y atribuida a Cliff Kottman), que en un espacio normado de dimensión infinita, se puede encontrar una secuencia $(x_n)$ satisfaciendo $\Vert x_n-x_m\Vert>1$ para $n\ne m$ .
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@DavidMitra: ¡Genial! Mejora el lema de Riesz, del que generalmente no se puede obtener algo mejor que $1-\varepsilon$ .
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El artículo original de Kottman es: Kottman, C. A. 1975. Subconjuntos de la bola unitaria que están separados por más de uno. Estudios matemáticos ., 53, 15-27. Una prueba más sencilla del resultado se encuentra en el libro de Diestel, y se atribuye a Tom Starbird.
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Ver también math.stackexchange.com/q/296318