¿Cómo mostrar$ \sup\limits_{k}||u_k||_{W^{1.q}(U)}<\infty $?

Question

Si$u_k\rightharpoonup u$ débilmente en$W^{1,q}(U)$, ¿cómo puedo mostrar $$ \ sup \ limits_ {k} || u_k || _ {W ^ {1.q} (U)} <\ infty? $$

Answer 1

Yo segundo la respuesta de @ Jose27. Este es el hecho general del análisis funcional. Para ver una prueba, consulte la Proposición 3.5 en este libro .

Por otra parte, lo contrario también es cierto. Si una secuencia de funciones está limitada de manera uniforme en$W^{1,p}(\Omega)$ para$\Omega$ limitada y satisface cierta regularidad de límites, entonces, hasta una subsecuencia, puede extraer una secuencia de convergencia débil.