En mi examen final de ayer hubo una pregunta "casi extra" que realmente creo que no hice bien. Adiviné que tal subgrupo es $GL_3(\mathbb{Z}_4)$ . Se agradecería una pista.
El enfoque podría ser encontrar un subgrupo cuyo orden sea dos veces menor que el de $GL_3(\mathbb{Z}_8)$ y utilizar el teorema de Lagrange. También sabemos que cualquier subgrupo de índice 2 es normal, por lo que podríamos utilizar este hecho.
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Porque $\Bbb{Z}_4$ no es un subring de $\Bbb{Z}_8$ Me resulta difícil ver cómo podría $GL_3(\Bbb{Z}_4)$ incluso ser un subgrupo de $GL_3(\Bbb{Z}_8)$ . Y mucho menos uno de los dos índices.
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Una pista extra. Las matrices con determinante positivo forman un subgrupo de índice dos en $GL_3(\Bbb{R})$ .
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@JyrkiLahtonen: Todavía no he estudiado la teoría de los anillos.