¿Cómo encuentro un$A_0$ y$A_n$ que satisfaga las condiciones iniciales de esta ecuación de calor?

Question

Digamos que tengo la ecuación del calor $\frac {\partial u}{\partial t} = k\frac {\partial^2 u}{\partial x^2}$, $0 \lt x \lt L$, $t \gt 0$, sujeto a las condiciones de frontera

$$\begin{cases} \frac {\partial u}{\partial x}(0, t) = 0, & t \gt 0 \\ \frac {\partial u}{\partial x}(L, t) = 0, & t \gt 0, \end{cases}$$

$L$ de ser, por supuesto, la longitud de la varilla en una dimensión.

También tengo las condiciones iniciales $\begin{equation} u(x, 0) = \left \{ \begin{aligned} &0 && \ x \lt L/2 \\ &1 && \ x \gt L/2 \end{aligned} \right. \end{equation} $

Ahora sé cómo resolver una solución general (de todo, pero las condiciones de satisfacción) por $u(x, t)$, y tengo que

$u(x, t)$ = $A_0 + \sum ^\infty _{n=1} A_n\cos(\frac {n \pi x}{L})e^{-k \lambda t} $.

También sé cómo mostrar por la ortogonalidad de los cosenos que

$A_0 = \frac {1}{L} \int^L _0 f(x)dx $ $A_n = \frac {2}{L} \int ^L _0 f(x)\cos(\frac {n \pi x}{L})dx$.

¿Cómo puedo encontrar un $A_0$ $A_n$ que satisfacen las condiciones iniciales?

Por lo que puedo decir, tengo que encontrar a $f(x)$ tal que $$\frac{1}{L} \int^{\frac {L}{2}}_0 f(x)dx + \sum^ \infty _{n=1}(\frac{2}{L} \int^{\frac{L}{2}}_0 f(x)\cos (\frac{n \pi x}{L})dx) \cos( \frac {n \pi x}{L})) = 0$$ y $$\frac{1}{L} \int^{L}_\frac {L}{2} f(x)dx + \sum^ \infty _{n=1}(\frac{2}{L} \int^{L}_\frac{2}{L} f(x)\cos (\frac{n \pi x}{L})dx) \cos( \frac {n \pi x}{L})) = 1$$ y, a continuación, utilizar lo $f(x)$ esto es para encontrar $A_0$ $A_n$ por encima.

También, sé que la solución es que $A_0 = \frac {1}{2}, A_n = -\frac {2}{n \pi}\sin(\frac{n \pi}{2})$ al $n \neq 0$.

¿Por qué esto es cierto y aunque ¿cómo puedo demostrar que esto es la solución ?

Answer 1

Llevar a cabo el procedimiento de separación de variables, que comienza por la búsqueda de soluciones de la forma $u(x,t)=X(x)T(t)$ $$ \frac{T}{T}=k\frac{X"}{X},\;\;\; X'(0)=X'(L)=0. $$ La ecuación separa $$ T'=\lambda T, \;\;X"=\frac{\lambda}{k}X. $$ Si $\lambda > 0$,$X(x)=Ae^{\sqrt{\lambda}x}+Be^{-\sqrt{\lambda}x}$, y de no obtener soluciones para que $X'(0)=X'(L)=0$. Si $\lambda \le 0$, entonces usted puede comenzar mediante la resolución de $X$ tal que $X(0)=1$, $X'(0)=0$ con el fin de limitar las funciones $$ X(x)=\cos(\sqrt{-\lambda/k}x) $$ Entonces la ecuación de $\lambda$ es determinado por el requisito de que $X'(L)=0$: $$ \sqrt{-\lambda/k}\sin(\sqrt{-\lambda/k, L})=0,\\ \sqrt{-\lambda/k}L = 0,\pi,2\pi,3\pi,\cdots,\\ \lambda = -\frac{kn^2\pi^2}{L^2},\;\;\; n=0,1,2,3,\cdots. $$ Las soluciones en $T$ son entonces $$ T(t) = e^{-\lambda t} = e^{-kn^2\pi^2 t/L^2} $$ La solución completa es $$ u(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty}C_n e^{-kn^2\pi^2 t/L^2}\cos(n\pi x/L) $$ La condición inicial $u(x,t)$ determina la $C_n$: $$ u(x,0)=\sum_{n=0}^{\infty}C_n\cos(n\pi x/L), $$ donde$u(x,0)=\chi_{[L/2,L]}$$0$$0 \le x < L/2$$1$$L/2 \le x \le L$. Todos los de la $\cos(n\pi x/L)$ son mutuamente ortogonales en $L^2[0,L]$. Así que multiplicar por $\cos(m\pi x/L)$ e integrar más de $[0,L]$ para obtener el coefficent $C_m$: $$ \int_{0}^{L}\chi_{[L/2,L]}\cos(m\pi x/L)dx=C_m\int_{0}^{L}\cos^2(m\pi x/L)dx \\ \int_{L/2}^{L}\cos(m\pi x/L)dx=C_m \frac{L}{2} $$ Para $m=0$, se obtiene $$ L/2 = LC_0/2 \implica C_0 = 1 $$ Para $m\ne 0$, se obtiene $$ \a la izquierda. \frac{\sin(m\pi x/L)}{m\pi/L}\right|_{x=L/2}^{x=L} = C_m\frac{L}{2}\\ -2\frac{\sin(m\pi/2)}{m\pi}=C_m, \;\;\; m=1,2,3,\cdots. $$