Los espacios de bucle son equivalentes en homotopía

Question

Sea X un espacio conexo y supongamos que a y b son dos puntos de X. Si consideramos el espacio de lazos en "a", digamos (A,a), y el espacio de lazos en "b", digamos (B,b), y f es un camino de a a b. Entonces, ¿es cierto que (A,a) y (B,b) son homotópicamente equivalentes? Ciertamente hay un mapa canónico de uno a otro usando f.

Answer 1

Sí, es cierto. De un bucle $\gamma$ con sede en $a$ y su $f$ puede definir el bucle $f\# \gamma\# \overline f$ . Aquí $\overline f$ denota el camino inverso. Este mapa $\Psi_f:\Omega_a(X)\rightarrow \Omega_b(X)$ es continua en la topología abierta compacta. La inversa del mapa viene dada por $\Psi_\overline f$ . Los bucles $f\#\overline f$ y $\overline f\#f$ son contraíbles, y no es muy difícil utilizar estas contracciones para demostrar que $\Psi_f\circ \Psi_\overline f$ y $\Psi_\overline f\circ \Psi_f$ son homotópicas a la identidad en $\Omega_a(X)$ y $\Omega_b(X)$ respectivamente.