Jerarquía de borel

Question

estoy en problemas con un ejercicio en Kechris, Clásica Descriptivo de la Teoría de conjuntos. El Teorema de 22.4 muestra $\Sigma_\xi^0(X)\neq\Pi_\xi^0(X)$ para cada ordinal $\xi\lneq\omega_1$ e incontables polaco espacio de $X$, mediante la existencia de conjuntos universales. El siguiente ejercicio: Demostrar que si X es un incontable polaco espacio y $\lambda$ es un ordinal límite, entonces: $\bigcup_{\xi\lneq\lambda}\Sigma_\xi^0(X)\subsetneq\Delta_\lambda^0(X)$.

La inclusión es obvio. Para la desigualdad, me gustaría mostrar que el conjunto de $A=\bigcup_{n\in\omega}A_n$, $A_n$ tomado en $\Sigma_{\xi_n}^0(X)\backslash\Pi_{\xi_n}^0(X)$ e $\xi_n\lneq\xi_{n+1}\lneq\dots\lneq\lambda$, es en $\Delta_\lambda^0(X)$ (claramente), pero no en el primer set. Es este un éxito? De lo contrario, ¿cuál es el camino?

Answer 1

Tu idea no funciona exactamente como es, tienes que ser más cuidadoso en la elección de la $A_n$. Por ejemplo, como está escrito, podría suceder que $\xi_1 = 1$ e $A_1$ es una pelota, y todo el resto de la $A_n$ están contenidas dentro de $A_1$. A continuación, $A$ es sólo $A_1$, que es, sin duda, en $\bigcup_{\xi < \lambda} \mathbf\Sigma_\xi^0(X)$.

También, estoy claro cómo probar que $A \in \mathbf\Pi_\lambda^0(X)$ con su construcción.

Aquí es una modificación que hará más fácil: "separado de" los conjuntos de $A_n$. Es decir, elegir una contables de la familia $U_n$ de distinto innumerables abrir los subconjuntos de a$X$ (ejercicio: demostrar que la familia existe), y deje $A_n \in \mathbf\Pi_{\xi_n}^0(U_n) \setminus \mathbf\Sigma_{\xi_n}^0(U_n)$. A continuación, dejando $A = \bigcup_n A_n$ como antes, no es demasiado duro para demostrar que $A \in \mathbf{\Delta}_\lambda^0(X)$. (Sugerencia: $A^c = (\bigcup_n U_n)^c \cup \bigcup_n (A_n^c \cap U_n)$). Sin embargo, si $A \in \mathbf{\Sigma}_{\xi_n}^0(X)$ para algunos $n$, a continuación, $A_n = A \cap U_n \in \mathbf\Sigma_{\xi_n}^0(U_n)$ lo cual es una contradicción.