¿Cómo podemos convertimos cualquier número en un número primo con sólo agregar más dígitos?

Question

¿Cómo podemos convertir cualquier número (donde el número es > 2) en un primer número, añadiendo simplemente el más dígitos? Me estoy refiriendo a la derecha del número.

Así

4 no es un número primo

Pero Si añado 1 o 3 o 7 puede llegar a ser un número primo

41, 43, 47 todos son de hecho los números primos

"Sé" esto es posible (sin embargo no tengo una prueba de ello), simplemente porque de la "densidad" de los números primos, así que dado cualquier número que puede simplemente añadir muchos "5" dígitos y, a continuación, iniciar la búsqueda de números primos mediante la adición de "1" al número resultante y la prueba de primalidad.

Sin embargo, ¿hay alguna manera más inteligente de hacerlo sin el uso de "fuerza bruta" (es decir, las pruebas de primalidad de un rango de valores )

Fuera de la caja se prefieren las soluciones, por ejemplo.

si el número está en la forma XYZ, a continuación, XYZ(ZYX+1) es primo.

Answer 1

Se sabe que existe un número positivo $\delta$ estrictamente menor que 1, tales que, si $n$ es lo suficientemente grande, entonces hay una privilegiada entre el$n$$n+n^{\delta}$. [Creo que el estado del arte ha $\delta=.535$] Si $n$ es lo suficientemente grande, entonces $n$ $n+n^{\delta}$ a empezar con el mismo sin embargo-muchos-dígitos-que-como. Lo que demuestra que siempre es posible, aunque no se puede dar una buena manera de hacerlo.

Se cree que siempre hay un primer entre el $n$ $n+C(\log n)^2$ para alguna constante positiva $C$ [$C=2$ incluso se pueden hacer, al menos para un gran $n$], pero esta es la forma por encima de lo que cualquier persona en la actualidad se sabe cómo demostrarlo.