Desigualdad derivada ordinaria y covariante:$ \| u\|_1 \leq C\left( \| \frac{Du}{dt} \|_0 + \|u\|_0 \right) $

Question

Deje $I=[0,1]$.

Definir:

$H_0 = L^2(I,\mathbb{R}^3)$ con producto interior $\langle u,v \rangle_0 = \int_0^1 \langle u(t), v(t) \rangle \text{ dt}$

$H_1 = W^{1,2}(I, \mathbb{R}^3)$ con producto interior $\langle u,v \rangle_1 = \langle u,v \rangle_0 + \langle u',v' \rangle_0$.

y el submanifold $\Omega = \{\omega \in H_1\ \mid \ \|\omega(t)\| = 1 \text{ and } w(0) = w(1) \}$ de $H$.

Tengo problemas para mostrar el siguiente "elemental" de la desigualdad entre los covariante y ordinarios derivados.

Si $A$ es $H_1$ subconjunto acotado de $\Omega$ entonces existe una constante $C$ tales que $$ \| u\|_1 \leq C\left( \| \frac{Du}{dt} \|_0 + \|u\|_0 \right) $$ para cualquier $w \in A$ y cualquier $u \in H_1(w^*TS^2)$.

La derivada covariante para algunos $u \in H_1(w^*TS^2)$ a lo largo de una curva de $w$ es la de la norma métrica en $S^2$ y puede ser escrito como $$ \frac{Du}{\partial t} = u'(t) - \langle u'(t), w(t) \rangle w(t).$$

He intentado mantener el esquema de la configuración específica de la manera más breve y precisa posible, si no hay nada claro al respecto, no dude en comentar.

Lo que he intentado: el Cuadrado ambos lados de la desigualdad y tratando de obtener el $\| \|_1$ e $\| \|_0$ términos de $w$ juntos, ya que restando sólo se dejaría a la $L^2$-norma ordinaria de los derivados, lo que podría ayudar. Cuando el cuadrado también he usado que $$ \langle w(t), \frac{Du}{dt}(t) \rangle = 0$$ para cualquier $t$ desde $\frac{Du}{dt}(t)$ se encuentra en el plano tangencial $S^2_{w(t)}$ y por lo tanto es ortogonal a $w(t)$. Yo no puedo obtener ninguna más, y aunque me falta (olvidado) algunas cosas a tener en cuenta a la hora de mostrar esa desigualdad.

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Deje $n(t)=\langle u'(t),w(t)\rangle w(t)$ lo $u'(t)=Du/dt(t)+n(t).$ Queremos enlazado $\|u\|_1^2=\|u\|_0^2+\|Du/dt\|_0^2+\|n\|_0^2$ por $C(\|Du\|_0+\|u\|_0)^2$ para algunos $C.$ La única problemática plazo es $\|n\|_0^2.$ La diferenciación $\langle u,w\rangle=0$ da $n(t)=\langle u'(t),w(t)\rangle w(t)=-\langle u(t),w'(t)\rangle w(t),$ así

$$\|n\|_0^2=\int_0^1\langle u(t),w'(t)\rangle^2dt\leq\int_0^1\| u(t)\|^2\|w'(t)\|^2dt\leq C'\|u\|_\infty^2$$ para algunos $C',$ el uso de Cauchy-Schwarz y la suposición de que $\|w\|_1$ está acotada. Aquí $\|u\|_\infty$ , es esencial el supremum de $\|u\|.$

Entre cualquiera de las $0\leq a<b\leq 1,$ el cambio en $\|u\|^2$es $$\int_a^b\frac{d}{dt}\|u\|^2dt=2\int_a^b\langle u(t),u'(t)\rangle dt=2\int_a^b\langle u(t),Du/dt(t)\rangle dt.$$ Para justificar las primeras expresiones de uso de una aproximación suave en $W^{1,2}.$ La segunda igualdad se utiliza el hecho de que $n(t)$ es ortogonal a $u(t)$ (nota $u(t)$ se encuentra en el espacio de la tangente a $S^2$ a $w(t)$). El lado derecho es en la mayoría de las $\|Du/dt(t)\|_0^2+\|u\|_0^2.$ Y el valor promedio de $\|u\|$ es $\int u(t)dt\leq \|u\|_0,$ tan esencial supremum de $\|u\|$ es en la mayoría de las $C(\|u\|_0+\|Du/dt\|_0)$ para algunos $C.$