¿Hay un subespacio no conectado simplemente de$\mathbb R^2$ con una primera homología trivial?

Question

Exactamente lo que dice el título. Se puede encontrar algún espacio topológico $X\subset\mathbb R^2$ tal que $\pi_1(X)\neq0$, pero $\mathrm H_1(X,\mathbb Z)=0$?

He sido informado de que este trabajo muestra que el grupo fundamental de cualquier subespacio de $\mathbb R^2$ tiene una torsión de libre fundamental del grupo, por lo que al menos, por un espacio para existir, tiene que haber alguna torsiones grupo con trivial abelianization. No sé si tal grupo existe.

Edit: resulta que a simple torsión libre de grupos existen, por lo que hay de torsión libre de grupos con trivial abelianization.

Answer 1

Según las referencias en esta respuesta , los grupos fundamentales de subconjuntos del plano son libres de forma residual, y en particular, si $\pi_1(X)$ no es trivial, se proyecta sobre un grupo libre no trivial. Debido a que los grupos libres tienen abelianización no trivial, vemos que $\pi_1(X)$ se proyecta en un grupo abeliano y, por lo tanto, $H_1(X) = \pi_1(X)^{\text{ab}}$ no es trivial.