¿$d x^\mu=g^{\mu\nu} \partial_\nu$, O$\partial_\nu=g_{\nu \mu}dx^\mu$?

Question

Como sugiere el título: ¿ $d x^\mu=g^{\mu\nu} \partial_\nu$ o $\partial_\nu=g_{\nu \mu}dx^\mu$ ?

Esto es meramente mi propia conjetura, del material que estoy leyendo; así que no estoy seguro ... El operador de derivada parcial sigue siendo un operador diferencial en mi punto de vista.

Esto puede ser demasiado básico para usted, pero muchas gracias.

Answer 1

No del todo. Aunque el índice de equilibrio es correcto, en ${\rm d}x^\mu = g^{\mu\nu}\partial_\nu$ tiene que el lado izquierdo es un $1$, mientras que el lado derecho es un campo de vectores. Lo que sucede aquí es que si $(M,g)$ es su pseudo-Riemann colector (que supongo que en tu caso debe ser sólo un espacio-tiempo), la métrica induce el llamado musical isomorphisms $\flat\colon T_x M \to T_x^*M$ e $\sharp \colon T^*_xM \to T_xM$ por cada punto de $x \in M$. Dijo isomorphisms se caracterizan por $v_\flat(w) = g_x(v,w)$ para $v, w \in T_xM$, y también para $\xi \in T_x^*M$, el vector $\xi^\sharp \in T_xM$ se caracteriza por la relación $\xi(v) = g_x(v, \xi^\sharp)$, para todos los $v \in T_xM$. Usted puede poner todas estas isomorphisms juntos para obtener los mapas de $\flat : TM \to T^*M$ e $\sharp\colon T^*M\to TM$ entre la tangente paquetes (que todavía estoy denotando por los mismos símbolos) y, a continuación, que pueden ser "actualizado" a nivel de sección, dando isomorphisms $\flat\colon \mathfrak{X}(M) \to \Omega^1(M)$ e $\sharp\colon \Omega^1(M) \to \mathfrak{X}(M)$ entre campos vectoriales y $1$-formas. Lo que realmente tiene para un determinado sistema de coordenadas son las fórmulas $${\rm d}x^\mu = g^{\mu\nu} (\partial_\nu)_\flat \quad\mbox{and}\quad \partial_\mu = g_{\mu \nu}({\rm d}x^\nu)^\sharp.$$What happens is that people just sweep these isomorphisms under the rug and write just the formulas you have seen in your textbook. For example, to prove the first one, you just have to check that both sides act the same in an arbitrary coordinate vector field $\partial_\lambda$, say. Indeed, we have $$g^{\mu\nu}(\partial_\nu)_\flat(\partial_\lambda) = g^{\mu\nu}g(\partial_\nu,\partial_\lambda) = g^{\mu\nu}g_{\nu\lambda} = \delta^\mu_{\;\lambda} = {\rm d}x^\mu(\partial_\lambda),$$as wanted. The second one follows from the first one (up to index relabeling) by doing $${\rm d}x^\mu = g^{\mu\nu}(\partial_\nu)_\flat \implies g_{\lambda \mu}{\rm d}x^\mu = g_{\lambda \mu}g^{\mu\nu}(\partial_\nu)_\flat = \delta^\nu_{\lambda}(\partial_\nu)_\flat = (\partial_\lambda)_\flat \implies \partial_\lambda = (g_{\lambda\mu}{\rm d}x^\mu)^\sharp = g_{\lambda\mu}({\rm d}x^\mu)^\sharp.$$(Relabel $\mu \a \nu$ and $\lambda \a \mu$ en este orden, si se te hace más cómodo en la última igualdad por encima.)

Answer 2

RESUMEN. Este es formalmente incorrecto, como Ivo ya se demostró. Si la métrica es $\delta_{\mu \nu}dx^\mu\otimes dx^\nu$, entonces es moralmente correcto. De lo contrario, no lo es; ver ejemplo al final de este post.

Mi entendimiento de estas cosas es que puedes subir o bajar los índices en las coordenadas de un tensor, no en el tensor de la misma. Para explicar lo que quiero decir, vamos a $\mu_0\in \{1, 2, \ldots n\}$ ser fijo. El 1 formulario a- $dx^{\mu_0}$ es el tensor cuyas coordenadas en la base $dx^1, dx^2, \ldots, dx^n$ son $$ (\delta^{\mu_0}{}_{\nu}\ :\ \nu=1, 2, \ldots, n), $$ y se denota ellos por $\delta^{\mu_0}{}_{\nu}$. (Esta $\delta$ es el símbolo de Kronecker, que es igual a $1$ si ambos índices están de acuerdo y $0$ lo contrario. El espaciado de los índices no es importante).

Doblemente, el campo de vectores $\frac{\partial}{\partial x^{\mu_0}}$ es el tensor cuyas coordenadas son $\delta_{\mu_0}{}^\nu$. Y este es el final de la historia, a menos que se introduce una métrica de Riemann.

Si introducimos un ejemplo de métrica $g_{\mu\nu}$ (o $g_{\mu\nu}dx^\mu\otimes dx^\nu$, si se prefiere la versión extendida), entonces podemos subir o bajar los índices mediante la contratación de esta métrica, que es otra definición de la "musical isomorphisms" de Ivo de la respuesta. En el caso de que el tensor de la que hemos introducido anteriormente, si $g_{\mu\nu}=\delta_{\mu\nu}$, luego subiendo el segundo índice en el primer tensor obtenemos el segundo; $$ \delta^{\mu_0}{}_\nu \delta^{\nu \rho}=\delta^{\mu_0\rho}. $$

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ADVERTENCIA! Si la métrica no es $\delta_{\mu \nu}dx^\mu\otimes dx^\nu$, entonces falla el anterior, y (en el idioma de Ivo de la respuesta) es no cierto que $$ \left(\frac{\partial}{\partial x^\mu}\right)_b =dx^\mu \quad \frac{\partial}{\partial x^\mu}=(dx^\mu)^{\#}.$$ Permítanme hacer un ejemplo claro: parametrizar $\mathbb S^2$ (menos de un semicírculo) como $$ (\cos \theta, \sin \theta\cos \phi) \qquad \text{donde }\theta\en(0, \pi,\phi\en(0, 2\pi).$$ A continuación, el tensor métrico de $\mathbb S^2$ es $$ g = d\theta^2 + \sin^2\phi d\phi^2,$$ por lo tanto la matriz de $g_{\mu \nu}$ es $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sin^2\phi\end{bmatrix}. $$ En particular, $g_{\mu \nu}$ es no el símbolo de Kronecker.

Ahora, vamos a calcular $(d\phi)_b$. Los componentes de este tensor, en base a $d\theta, d\phi$, se $(0, 1)$. Debemos contrato, a continuación, con la métrica, lo que equivale a calcular $$ (0, 1)\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sin^2\phi\end{bmatrix} = (0, \sin^2\phi).$$ Por lo tanto $$ (d\phi)_b= \sin^2\phi \frac{\partial}{\partial \phi}.$$