Dejemos que $(F_n)_{n\in \mathbb{N}}$ sea la secuencia de Fibonacci. Demuestra que $F_{n+1}F_n - F_{n-1}F_{n-2} = F_{2n-1}$ .

Question

Dejemos que $(F_n)_{n\in \mathbb{N}}$ sea la secuencia de Fibonacci. Demuestra que $F_{n+1}F_n - F_{n-1}F_{n-2} = F_{2n-1}$ .

Estoy tratando de demostrar usando el principio de inducción, así que aquí está mi boceto:

$(i)$ $n = 3 \implies F_4F_3-F_2F_1= 6-1 = 5 = F_5$

$(ii)$ Supongamos que es cierto para $n = k$

$F_{k+2}F_{k+1}-F_{k}F_{k-1} = (F_{k+1}+F_k)F_{k+1} - (F_{k-1}+F_{k-2})F_{k-1} = F_{k+1}F_k-F_{k-1}F_{k-2} + F_{k+1}^2 - F_{k-1}^2 = F_{2k-1} + F_{k+1}^2 - F_{k-1}^2 $ .

Me he quedado atascado aquí, ¿cómo puedo transformar $F_{k+1}^2 - F_{k-1}^2$ en $F_{2k}$ ?

Answer 1

Primero podemos demostrar que $F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n)$ por inducción en $n$ . Utilizando la fórmula anterior, podemos comprobar que $F_{n+1}F_{n}-F_{n-1}F_{n-2}=F_{2n-1}$ .

Answer 2

Creo que deberías utilizar la fórmula de recurrencia de la secuencia de Fibonnacci, es decir $ F(n+2) = F(n+1) + F(n) $ Combina esto con la fórmula que obtienes por inducción.