Importancia de la cohomología evanescente

Question

Como parte de mi proyecto de maestría, he estado trabajando con la obra de Serre FAC . A continuación se presentan tres resultados estrechamente relacionados que presentaré como parte de mi defensa. Estos resultados son de n $^{°}$ 52, página 63 de la traducción inglesa aquí .

Los resultados son los siguientes:

1. Dejemos que $X = \mathbb{P}_r(K)$ y que $\mathscr{F}$ sea una gavilla algebraica coherente sobre $X$ . Entonces $H^{n}(X, \mathscr{F}) = 0$ para $n > r$ .

2. El resultado 1. puede generalizarse como sigue: Sea $V$ sea una variedad algebraica isomorfa a una subvariedad localmente cerrada del espacio proyectivo $X$ . Sea $\mathscr{F}$ sea una gavilla coherente algebraica sobre $V$ y que $W$ sea la subvariedad de $V$ tal que tal que $\mathscr{F}$ es cero fuera de $W$ . Entonces tenemos $H^n(V,\mathscr{F}) = 0$ para $n > \mathrm{dim} \, W$ .

3. En particular, tomando $W = V$ en el resultado 2. vemos que $H^n(V, \mathscr{F}) = 0$ , para $n > \mathrm{dim} V$ .

Estos resultados son, más o menos, la gran culminación de mi proyecto. He trabajado con el material en FAC bastante riguroso hasta este momento, pero aún no soy lo suficientemente experto como para ver las conexiones e implicaciones con la geometría. Además, mi intuición es todavía bastante pobre. Tengo que escribirlo todo y trabajarlo lentamente. Lo que he aprendido de este trabajo hasta ahora es mucha teoría de gavillas general elemental (digo elemental, pero no me resultó nada fácil), mucha cohomología general de Cech, y ahora estoy en los capítulos en los que lo relaciona con la geometría (capítulos II y III sobre variedades y variedades protectoras respectivamente). En aras del tiempo me he saltado algunas secciones, pero no demasiadas. Estoy seguro de que si sigo adelante y termino el artículo, y sigo estudiando AG durante años, la importancia de estos resultados me resultará obvia. Pero, no tengo tanto tiempo antes de defender mi proyecto de maestría y casi seguramente me pedirán que explique la importancia de estos resultados.

Ahora mismo, la mejor respuesta que tendría es que no sé por qué, pero confío en que son importantes. ¡Ja! Algunas de las razones por las que confío en que son importantes son 1) Serre eligió etiquetarlo como una proposición / corolario, lo que significa que cree que es importante. 2) Resultados como este parecen ser omnipresentes, Serre da versiones y análogos de este resultado en el capítulo sobre variedades y el capítulo sobre variedades proyectivas. En la introducción de este trabajo menciona que es uno de los principales resultados del capítulo sobre variedades no proyectivas. También hay afirmaciones análogas a ésta en otros grandes resultados como las conjeturas de Weil (no son exactamente iguales, pero tienen el mismo sabor).

¿Puede alguien ofrecerme alguna idea de por qué son relevantes estos resultados de cohomología evanescente? ¿Por qué son importantes para la geometría? ¿Por qué son importantes desde el punto de vista del álgebra homológica abstracta? ¿Por qué son preguntas naturales para tratar de responder?

En respuesta a la pregunta obvia "¿por qué te propones estudiar esto si no sabes por qué es importante?" - Porque me lo recomendó mi asesor y confío en él. En respuesta a "bueno, entonces ¿por qué no le preguntas a tu asesor por qué es importante?" - Ya lo hice. Ahora también se lo pregunto a usted.

Answer 1

He aquí tres observaciones concisas sobre una cuestión que requeriría cientos de páginas para responder de forma razonablemente completa.

1) Muchos teoremas, como el de Riemann-Roch, se refieren al cálculo de la característica de Euler $\chi (X,\mathcal F)=\sum_{i=0}^{\infty}\dim _KH^i(X,\mathcal F)$ de una gavilla coherente $\mathcal F$ en la variedad proyectiva $X$ .
La suma no tendría sentido si no supiéramos que $\dim _KH^i(X,\mathcal F)=0$ para $i\gt \dim X$ .
Entonces el polinomio de Hilbert de la gavilla coherente $\mathcal F$ en $X$ es el polinomio $H_\mathcal F(t)=\chi(X,\mathcal F\otimes\mathcal O(t))\in \mathbb Z[t]$ .
Este polinomio da lugar a varios invariantes para $(X,\mathcal F)$ (como la dimensión de X, por ejemplo) y es el prerrequisito para la construcción de los esquemas de Hilbert de Grothendieck, que fue pionera.

2) Grothendieck ha demostrado la asombrosa generalización de que para un espacio topológico noetheriano de dimensión Krull $n$ y una gavilla arbitraria de grupos abelianos $\mathcal A$ en $X$ tenemos $H^i(X,\mathcal A)=0$ tan pronto como $i\gt n$ .
Permítanme insistir en que $X$ no tiene nada que ver con las variedades algebraicas.
Así, por ejemplo, el círculo $S^1$ con su topología métrica habitual tiene dimensión de Krull $0$ y así podemos deducir $H^1(S^1,\mathbb R)=0$ ¿verdad?
¡Error! Porque un espacio topológico de Hausdorff infinito es nunca noetheriano (ya que tiene infinitos componentes irreducibles: sus puntos).
Entonces, el teorema de Grothendieck aparentemente no requiere que uno trabaje en geometría algebraica, pero en la práctica no es tan útil en otros dominios de las matemáticas :-)

3) Para contextualizar y contrastar, observe que Barratt-Milnor han demostrado que existe un compacto $n$ -Ramillete infinito de dimensiones $B$ de esferas cuyos grupos de cohomología singular $H^i(B,\mathbb Q)$ son $\neq 0$ para infinitos valores de $i$ .

Answer 2

Puede ser útil buscar algunas de las fuentes primarias que comienzan a tratar los grupos de cohomología para ver qué problemas intentaban resolver. El tratamiento actual de los mismos es muy simplificado y agradable, pero tiende a dejar atrás parte de la motivación o la intuición. Hay dos ejemplos que pueden ser buenos para tener en cuenta:

La primera es básicamente de donde proviene la cohomología de Cech. Tenemos una variedad $X$ y queremos construir una función holomorfa $f$ en él. Para ello, elegimos una cobertura $(U_j)$ de $X$ por conjuntos abiertos, y construir una función $f_j$ en cada $U_j$ . Para poder "pegar" estos elementos y definir una función $f$ en el conjunto de $X$ necesitamos que las diferentes partes se pongan de acuerdo en las intersecciones; es decir, necesitamos que $f_j = f_k$ en $U_j \cap U_k$ para todos $j, k$ . Esto no es más que decir que el cociclo de Cech definido por $f_{jk} = f_j - f_k$ es cero en $H^1(X, \mathbb C)$ .

Si sabemos que $H^1(X, \mathbb C) = 0$ entonces esta condición se satisface automáticamente, y podemos construir cualquier función holomorfa que necesitemos.

En la práctica, este problema suele surgir cuando tenemos una función $f$ en una subvariedad $Y$ de una variedad $X$ y nos preguntamos si podemos ampliar $f$ a todos los $X$ .

El segundo ejemplo es cuando queremos resolver ecuaciones diferenciales en alguna variedad. El hecho de que las ecuaciones de Cauchy-Riemann sean EDP ayuda a explicar por qué querríamos hacerlo. Supongamos, por ejemplo, que queremos construir una $p$ -forma $u$ en una variedad $X$ tal que $$ d u = v. $$ Para que esto funcione, necesitamos tener $d v = d^2 u = 0$ . Es decir, el elemento $[dv]$ del grupo de cohomología de Rham $H^{p+1}(X,\mathbb C)$ debe ser cero. De nuevo, si ese grupo es cero, ganamos por defecto y podemos resolver cualquier EDP que queramos. Este problema puede surgir de nuevo si intentamos extender una forma diferencial de una subvariedad a toda la variedad ambiente.

Ejemplos holomórficos muy similares se dan cuando consideramos los grupos de cohomología de Dolbeault $H^p(X, \mathcal F)$ con valores en alguna gavilla holomorfa $\mathcal F$ donde tratamos de resolver las EDP de la forma $\bar\partial u = v$ donde $u$ es un suave $(p,0)$ -forma.

Para un ejemplo más concreto, se puede considerar el espacio proyectivo $\mathbb P^{n+1}$ y una hipersuperficie $X$ en ella definida por un polinomio homogéneo de grado $d$ . Busque la secuencia exacta corta de Euler asociada a la hipersuperficie y encuentre los teoremas de fuga de Kodaira. Combina los dos para ver que casi todos los grupos de cohomología de la hipersuperficie $X$ desaparecen, lo que podemos interpretar como que podemos extender cualquier objeto interesante de cierto grado en él a todo el espacio proyectivo, excepto en un grado en el que finalmente ocurren algunas cosas interesantes.