Determinante de una matriz de la forma$M = I + xx^t$

Question

PS

Así que noté que $$M=\begin{pmatrix} 1+x_1^2 & x_1x_2 &...&x_1x_n \\ x_2x_1 & 1+x_2^2 &...&x_2x_n \\...&...& &...& \\x_nx_1 & x_nx_2& ...&1+x_n^2&\end{pmatrix}.$ es una matriz simétrica y $M$ . Eso es todo lo que puedo conseguir.

Answer 1

Usted puede continuar a partir de su observación a través de la matriz de determinante lema (que no es difícil de probar, por cierto).

Para un vector de columna $x = (x_1,...,x_n)$, y un $n\times n $ matriz identidad $I$, tenemos

$$ M = I + x x^T $$

por lo tanto, en vista de lo anterior lema,

$$ \det M = (1 + x^T I x)\det I = 1 + \|x\|^2 = 1 + x_1^2 + \cdots +x_n^2. $$

Answer 2

Considere la matriz $$N=M-I.$ $ Tiene un rango $\le1$ , por lo que su polinomio característico $P(\lambda)=\det(\lambda I-N)$ tiene la forma $\lambda^n-a\lambda^{n-1}$ . Pero $a$ es la traza de $N$ , así que $$P(\lambda)=\lambda^n-(x_1^2+\cdots+x_n^2)\lambda^{n-1}.$ $ ahora $$\det M=\det(I+N)=(-1)^nP(-1)=1+x_1^2+\cdots+x_n^2.$ $

Answer 3

Denotar por $M_n$ la matriz queremos calcular el determinante. Dejando $\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_{n-1})$, expresamos $M_n$ como un bloque de la matriz: $$ M_n=\pmatrix{M_{n-1}& x_n\mathbf x^t\\ x_n\mathbf{x}&1+x_n^2}. $$ Desde $\pmatrix{ x_n\mathbf x^t\\1+x_n^2}=\pmatrix{ 0\\1}+\pmatrix{ \mathbf x_nx^t\\x_n^2}$, se sigue por el multi-linealidad de la determinante que $$ \det\left(M_n\right)=\det\pmatrix{M_{n-1}& 0\\ x_n\mathbf{x}&1}+\det\pmatrix{M_{n-1}& x_n\mathbf x^t\\ x_n\mathbf{x}&x_n^2}. $$ El primer término del lado derecho es $\det\left(M_{n-1}\right)$; para el segundo, el uso de dos veces el multi-lineartiy del determinante (con respecto a las líneas y las columnas), obtenemos que $$ \det\left(M_{n}\right)=\det\left(M_{n-1}\right)+x_n^2\det\pmatrix{M_{n-1}& \mathbf x^t\\ \mathbf{x}&1}. $$ El último determinante es uno: uno puede hacer las combinaciones lineales $C_i\leftarrow x_iC_n$ ver esto.