Encuentre todas las funciones continuas en$0$ que$2f(2x) = f(x) + x $

Question

Necesito encontrar todas las funciones que son continuas en cero y $$ 2f(2x) = f(x) + x $$

Acerca de

Sé que hay muchos ejemplos y que el foro pero no entiendo una cosa y necesito explicación adicional. (En ninguna parte veo problema similar :( )

Mi pruebe

Aprovecho $ y= 2x$ luego
$$f(y) = \frac{1}{2}f\left(\frac{1}{2}y\right) + \frac{1}{4}$$ después de la inducción de recibir: $$f(y) = \frac{1}{2^n}f\left(\frac{1}{2^n}y\right) + y\left(\frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^4} + ... + \frac{1}{2^{2n}} \right)$$ Aprovecho $\lim_{n\rightarrow \infty} $ $$ \lim_{n\rightarrow \infty}f(y) = f(y) = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2^n}f\left(\frac{1}{2^n}y\right) + y\cdot \lim_{n\rightarrow \infty} \left(\frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^4} + ... + \frac{1}{2^{2n}} \right)$$ $$f(y) = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2^n} \cdot f\left( \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2^n}y \right) + \frac{1}{3}y$$

Ok, no tengo duda - lo que debo no después? ¿Cómo puedo saber que $$f(0) = 0 $$? Creo que puede estar relacionado con "funciones continuas en $0$" pero
la función es continua en $0$ cuando $$ \lim_{y\rightarrow 0^+}f(y)=f(0)=\lim_{y\rightarrow 0^-}f(y)$$ Y no veo una razón por la $f(0)=0$

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• Ok, yo sé por qué $f(0) =0$ pero ¿por qué necesito la información sobre la "Continuidad en un punto de $0$" ? Se trata de $$\lim_{n\rightarrow \infty}f\left(\frac{1}{2^n}y\right) = f\left( \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2^n}y \right)$$ ?

Answer 1

Un poderoso método para resolver estos tipos de problemas es reducir a una simplificación de la ecuación. En este caso queremos eliminar las $x$ en el lado derecho. Set $g(x)=f(x)+ax$, $a$ a encontrarse más tarde. Tenga en cuenta que $f$ es continua si y sólo si $g$ es. A continuación, la igualdad se convierte en $$2(g(2x)-a(2x))=g(x)-ax+x$$ $$2g(2x)=g(x)+x(1+3a)$$ Por lo tanto, ajuste $a=-\frac13$ la igualdad se simplifica a $$g(2x)=\frac12g(x).$$ Ahora conectar el cero da $g(0)=0$. Ahora se puede demostrar por inducción que para cada $x$ $$ g\left(\frac{x}{2^n}\right)=2^ng(x).\la etiqueta{1} $$ Si $g$ no es idénticamente cero, decir $g(x_0)\neq 0$, entonces nos encontramos con una contradicción. De hecho, por la continuidad en cero (lo que es cierto para $g$) $g(\frac{x_0}{2^n})$ deben converger a cero, mientras que, por $(1)$ no lo hace.

Por lo tanto llegamos a la conclusión de que $g$ debe ser idéntica a cero, o, equivalentemente, $f(x)=\frac13 x$.

Answer 2

Deje $g(x) = xf(x)$ . Obtenemos $$ g (2x) = g (x) + x ^ 2. $$ Since $ \ lim \ limits_ {x \ to 0} g (x) = g (0) = 0 $ , $$ \begin{eqnarray} g(x)=g(x) -\lim_{n\to\infty}g(2^{-n-1}x) &=&\sum_{j=0}^\infty g(2^{-j}x)-g(2^{-j-1}x)\\ &=&\sum_{j=0}^\infty 2^{-2j-2}\cdot x^2=\frac{x^2}{3}. \end {eqnarray}$$ This gives $$f(x) =\frac{g(x)}{x}=\frac{x}{3}.$ $

Answer 3

Vamos a asumir cualquier regularidad por el momento.

Conectar $x=0$ dar $2f(0)=f(0)$ lo $f(0)=0$.

Derivating da $4f'(2x)=f'(x)+1$ entonces $8f''(2x)=f''(x)$

Así que vamos a resolver en primer lugar $g(2x)=\frac 18 g(x)$.

$g(2^n)=a/8^n$ vamos a suponer $g(x)=\dfrac a{x^3}$

Esto daría $f(x)=\dfrac ax+bx+c$ continuidad en $0$ implica $a=0$ lo $f(x)=bx+c$.

$f(0)=c=0$ lo $f(x)=bx$.

$2f(2x)=4bx=f(x)+x=(b+1)x\iff b=\frac 13$ lo $f(x)=\dfrac x3$

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Ahora que hemos encontrado lo $f$ , permite trabajar por sustitución.

Set $f(x)=\dfrac x3g(x)$ entonces $2f(2x)=\dfrac{2x}3g(2x)=\dfrac x3g(x)+x\iff 2g(2x)=g(x)+1$

Set $h(x)=g(x)-1$ entonces $2h(2x)+2=h(x)+2\iff 2h(2x)=h(x)$

En particular, $h(x)=\frac 12h(\frac x2)=\cdots\frac 1{2^n}h(\frac x{2^n})\to 0$ asumiendo $h$ está delimitado en $0$.

Pero necesitamos un poco más de continuidad de $f$ aquí a la conclusión de $h=0$, necesitamos información sobre $\dfrac{f(x)}{x}$ a $0$, por lo que desde $f(0)=0$ necesitamos derivability de $f$ en $0$.

Asumiendo esta condición, a continuación, $f(x)=\dfrac x3$.

Answer 4

Esta ecuación de recurrencia es lineal entonces

$$ f(x) = f_h(x)+f_p(x) $$

tal que

$$ un f_h(x)-f_h(x) = 0\\ un f_p(x)-f_p(x) = x $$

para la ecuación homogénea asumimos

$$ f_h(x) = \frac Cx $$

y, a continuación, para el paticular asumimos

$$ f_p(x) = \frac{C(x)}{x} $$

entonces

$$ un\frac{C(x)}{x}-\frac{C(x)}{x} = x $$

o

$$ C(x)-C(x) = x^2 $$

para esta última ecuación de recurrencia que nos elija

$$ C(x) = \frac{x^2}{a^2-1} $$

así que la solución final es

$$ f(x) = \frac{C}{x}+\frac{x}{a^2-1} $$

en nuestro caso $a = 2$ luego

$$ f(x) = \frac Cx+\frac x3 $$

y para asegurar la continuidad en $x=0$ elegimos $C = 0$ por lo que el resultado final es

$$ f(x) = \frac x3 $$