$K[X^2,X^3]\subset K[X]$ es un dominio noetheriano y todos sus ideales principales son máximos

Question

Considere la posibilidad de $K$ campo y considerar el anillo de $R=K[X^2,X^3]\subset K[X]$. Está claro que $R$ no es un dominio de Dedekind, ya que con el elemento $X$ uno ve inmediatamente que no es integralmente cerrado. Pero $R$ es un Noetherian de dominio y todo no trivial primer ideal es máxima. Tengo una prueba para las dos últimas partes, pero es un poco pesado y tal vez alguien me puede ayudar a encontrar una mejor prueba! Gracias de antemano!

Answer 1

Supongamos $\mathfrak{p}$ es un valor distinto de cero el primer ideal de $A := K[X^{2}, X^{3}]$; queremos demostrar que las $\mathfrak{p}$ es máxima. Tenga en cuenta que $K[X^{2}]$ es un sub-anillo de $A$, e $K[X^{2}]$ es un director ideal de dominio, ya que es isomorfo a $K[X]$ a través de los morfismos de $K$-álgebras $K[X] \to K[X^{2}], X \mapsto X^{2}$. Tenga en cuenta que $\mathfrak{m} := \mathfrak{p} \cap K[X^{2}]$ es un primer ideal de $K[X^{2}]$, ya que es la preimagen de $\mathfrak{p}$ bajo la inclusión de morfismos $K[X^{2}] \hookrightarrow A$. Si $\mathfrak{m}$ es distinto de cero, entonces a$\mathfrak{m}$ es máxima, ya que $K[X^{2}]$ es un PID. Por otra parte, desde la inclusión $K[X^{2}] \hookrightarrow A$ es integral, así como también lo es la inducida (inyectiva) morfismos $K[X^{2}]/\mathfrak{m} \hookrightarrow A/\mathfrak{p}$. Desde $K[X^{2}]/\mathfrak{m}$ es un campo y $A$ es un dominio, $A$ debe ser un campo así (esto es, por ejemplo, la Proposición 5.7 en Atiyah Macdonald).

Por lo tanto, es suficiente para mostrar que $\mathfrak{p} \cap K[X^{2}]$ es distinto de cero para cualquier valor distinto de cero el primer ideal $\mathfrak{p}$ de $A$. Esto equivale a mostrar que cualquier valor distinto de cero $\mathfrak{p}$ contiene un polinomio cuyo monomio términos que todos tienen aún grado. Tome $f(X) \in \mathfrak{p}$ cero, y escribir $f(X) = g(X) + h(X)$, donde $g$ ha monomio términos de grado sólo, y $h$ ha monomio términos de grado impar sólo. A continuación, $f(-X) = g(X) - h(X)$, e $f(-X) \in A$, lo $f(-X)f(X) = g(X)^{2} - h(X)^{2} \in \mathfrak{p}$, lo que claramente ha monomio términos de grado solamente.

Answer 2

Simplemente porque $K[X]$ es una extensión integral de $K[X^2,X^3]$ .

Más precisamente, el teorema de ascenso garantiza que cualquier prima de $K[X^2,X^3]$ es una contracción de $K[X]$ , y debe saber que un % ideal $\mathfrak{m}\subseteq K[X]$ es máximo si y solo si $\mathfrak{m}\cap K[X^2,X^3]\subseteq K[X^2,X^3]$ es máximo.