¿Cuál es la probabilidad de que la matriz sea singular?

Question

Consideremos el conjunto de todos los booleano de las matrices cuadradas de orden $3 \times 3$ como se muestra a continuación, donde a,b,c,d,e,f puede ser 0 o 1.

$\begin{bmatrix} a&b&c\\ 0&d&e\\ 0&0&f \end{bmatrix}$

De todas las posibles matrices booleanas de arriba escriba, una matriz es elegido al azar.La probabilidad de que la matriz es singular?

Mi Trabajo

El de arriba de la matriz es una matriz triangular y es determinante puede ser 0, si una o más de una,d y f son 0, en cuyo caso 0 será un valor eigen de la matriz y, por tanto, determinante 0.

El número de formas en la que puede establecer $a,d,f$ a cero son: $\binom{3}{1}+\binom{3}{2}+\binom{3}{3}=7\,ways$

Ahora, total dado booleano matrices posibles son

$2^6=64$

Así, la probabilidad debe ser $\frac{7}{64}$

Es mi respuesta correcta?

Answer 1

Para ser singular, necesitamos $a=0$ o $d=0$ o $f=0$.

A no ser singular, necesitamos $a=d=f=1$.

Por lo tanto, la probaility es $$1-\frac{1}{2^3}=\frac{7}{8}.$$

Tenga en cuenta que los valores que $b,c,e$ son irrelevantes. Número de maneras de obtener una singular de la matriz es $7 \times 8=56$.

Answer 2

Parece básicamente correcto pero lo redactaría (completamente) de la siguiente manera:

Cualquier matriz cuadrada dada (sobre un campo) es singular si y solo si su determinante es cero. La matriz dada es triangular y, por lo tanto, su determinante es simplemente el producto de los elementos en la diagonal principal. Entonces la matriz es singular si ...

PS

y etc.