Calcular el área de una esfera a través de un delta de Dirac

Question

He estado teniendo problemas con la integración de un delta de Dirac. Para calcular el área de una esfera centrada en $(0,0,0)$ parece que funciona bien:

$$\int_{0}^{2\pi}{\int_{0}^{\pi}{\int_{0}^{\infty}{\delta(r-\rho)r^2\sin\theta\, dr}\,d\theta}\,d\phi} = 4\pi\rho^2$$

Ahora tomaré la misma esfera pero desplazada por $(0,0,\rho)$, es decir: $x^2 + y^2 + (z-\rho)^2 = \rho^2$. Pasando a coordenadas esféricas tenemos: $r^2\cos^2\phi\sin^2\theta + r^2\sin^2\phi\sin^2\theta + (r\cos\theta-\rho)^2 = \rho^2$, lo cual resulta en: $r(r-2\rho\cos\theta)=0$, y podemos expresar la esfera en coordenadas esféricas como: $r(\theta) = 2\rho\cos\theta, \theta \in [0,\pi/2], \phi\in[0,2\pi]$. Integrando obtenemos: $$\int_{0}^{2\pi}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\int_{0}^{\infty}{\delta(r-2\rho\cos\theta)r^2\sin\theta\, dr}\,d\theta}\,d\phi} = \frac{8\pi\rho^2}{3}$$

Ahora esto claramente no es correcto. La única razón que se me ocurre tiene que ver con propiedades del delta de Dirac de las que no estoy al tanto. Notar que no he estudiado teoría de la medida. Necesito el delta de Dirac y no una integral de superficie porque lo usaré para calcular transformaciones de funciones de densidad de probabilidad que necesitaré escribir a través de un delta de Dirac.

Editar: Se agradecen referencias que cubran esto para estudiantes de ingeniería/informática.

Editar 2: Teniendo en cuenta la respuesta de David Holden llegué al siguiente hecho que debe cumplirse (espero que sea correcto): $$\int_{V}{\delta(f(x)) \,dx} = \int_{S = \{x|f(x) =0\}}{\,dA}$$

Editar 3: Encontré más información sobre el tema: Funciones de impulso sobre curvas y superficies Propiedades en n dimensiones Área de superficie a partir de la función indicadora Propiedad de la función delta de Dirac en $\mathbb{R}^n$ ¿Se aplica la fórmula de coarea para la función delta?

Creo que el problema fue que cada vez que desplacé la esfera el delta de Dirac cambió de tal manera que $\delta(f(r)) \rightarrow \delta(g(r,\theta))$ y $g$ era entonces un mapeo no trivial (así que ya no es el delta de Dirac unidimensional al que estoy acostumbrado). Basándome en el primer artículo, creo que puedo reescribirlo como un delta de Dirac de superficie $\delta(g(r,\theta)) = \delta_S(r,\theta)$ que da la integral de superficie dando un resultado correcto. Los otros hilos y Wikipedia indican que debería haber una normalización por la magnitud del gradiente. Creo que me falta una pieza importante ya que para que el resultado sea correcto este factor de normalización debería cancelarse con algo. Más precisamente: $$\int_V{\delta(r-2\rho\cos\theta)r^2\sin\theta \,dr\,d\theta\,d\phi} = \int_S{\frac{\,d\sigma}{\sqrt{r^2+\rho^2-2r\rho\cos\theta}}}$$ La única idea que tengo es que de alguna manera el factor de normalización saldrá del $\,d\sigma$. Sin embargo, no tengo ni idea ya que se supone que es una 'medida de contenido de Minkowski' que está muy por encima de mi comprensión como estudiante de informática.

Para añadir a esto, también me gustaría poder resolver el mismo problema con una función heaviside (para integrar el volumen de la bola desplazada). No estoy seguro de si se aplican consideraciones similares allí, sin embargo, si lo integro, el resultado parece correcto. Aun así, quiero asegurarme de que esto sea válido para otros volúmenes también (quizás sea solo una coincidencia como la esfera centrada en $(0,0,0)$). Así que estaría agradecido si alguien con más conocimientos en teoría de la medida geométrica pudiera aclarar todos los puntos.

Answer 1

Para resumir la discusión en los comentarios, la definición de $\delta(f)$ se deriva al postular dos propiedades básicas: la regla de sustitución $$\int_{\mathbb R^n} \delta(f(\mathbf x)) \,\phi(\mathbf x) \,d\mathbf x = \int_U \delta(f(\mathbf x(\mathbf u))) \,\phi(\mathbf x(\mathbf u)) \left| \det D \mathbf x(\mathbf u) \right| d\mathbf u$$ y $$\int_{\mathbb R^n} \delta(x_1) \,\phi(\mathbf x) \,d\mathbf x = \int_{\mathbb R^{n - 1}} \phi(\mathbf x) \rvert_{x_1 = 0} \,dx_2 \cdots dx_n.$$ Si intentas establecer $$\small \int \delta(f(\mathbf x)) d\mathbf x = \int_{f(\mathbf x) = 0} dS = \int_{2 f(\mathbf x) = 0} dS = \int \delta(2 f(\mathbf x)) d\mathbf x,$$ violas la primera regla. Si intentas establecer $$\small \iint \delta(r - f(\theta)) \phi(r, \theta) dr d\theta \neq \int \phi(f(\theta), \theta) d\theta,$$ violas la segunda regla. Si adoptas la definición que el resto del mundo está usando derivada de las dos propiedades establecidas, obtienes la identidad $$\int_{\mathbb R^n} \delta(f(\mathbf x)) \left| \nabla f(\mathbf x) \right| \phi(\mathbf x) \,d\mathbf x = \int_{f(\mathbf x) = 0} \phi(\mathbf x) \,dS(\mathbf x),$$ que es formalmente la misma que la fórmula de Cocharea porque ambas son esencialmente la misma fórmula de cambio de variables. Las dos primeras fórmulas en tu pregunta de hecho serán correctas, mientras que las últimas dos serán incorrectas.

Answer 2

Cuando escribes integrando rinde... puedes estar haciendo una suposición injustificada sobre cuál es el "elemento de área". Un enfoque geométrico simple sugiere:

$$dA = \rho d(2\theta) \rho \sin 2\theta d\phi = 2 \rho^2 \sin 2\theta d\theta d\phi$$

nota que con $dA$ así definido:

$$\int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{\pi}2} dA = 4\pi\rho^2$$

Answer 3

Finalmente entendí por qué obtengo un resultado 'incorrecto'. Como era de esperar, no puedo sustituir directamente con el delta ya que es una composición con una sumersión. Sin embargo, la siguiente igualdad se cumple a partir de la fórmula de coárea: $$\int_{R^n}{f(x)\delta(g(x))\,dx} = \int_{g^{-1}(0)}{\frac{f(x)}{|\nabla g(x)|}\,d\sigma(x)}$$ Donde $g:R^n\rightarrow R$, $|\nabla g(x)|\ne 0$, y $d\sigma$ es la medida en la superficie $g^{-1}(0)$. Consideremos la función de densidad de probabilidad no normalizada uniforme en la esfera con centro $(0,0,0)$ y radio $\rho$ en coordenadas esféricas: $p_A(x,y,z) = \delta(r-\rho)r^2\sin\theta$. No es sorprendente que al integrar se obtenga $4\pi\rho^2$: $$\int_{0}^{2\pi}{\int_{0}^{\pi}{\int_{0}^{\infty}{\delta(r-\rho)r^2\sin\theta\,dr}\,d\theta}\,d\phi} = \int_{0}^{2\pi}{\int_{0}^{\pi}{\frac{\rho^2\sin\theta}{1}\,d\theta}\,d\phi} = 4\pi\rho^2$$

Se debe tener en cuenta que la división por $1$ es para enfatizar que $|\nabla g| = 1$. Es decir, he utilizado la fórmula de coárea anterior incluso si puede parecer innecesaria (pero como veremos más adelante es importante para otras aplicaciones, y este es simplemente un caso especial donde tenemos la función delta estándar). Ahora calculemos el área de la esfera trasladada. Al pasar a coordenadas cartesianas obtenemos: $p_B(x,y,z) = \frac{p_A(r,\theta)}{|r^2\sin\theta|} = \delta(\sqrt{x^2+y^2+z^2}-\rho)$ (hemos utilizado el teorema de transformación de pdf invertible). Al trasladar por $(0,0,\rho)$ obtenemos: $p_C(x,y,z) = p_B(x,y,z-\rho)$, donde el Jacobiano de esta transformación es $1$. Finalmente, al regresar a coordenadas esféricas obtenemos: $$p_D(r,\theta) = \delta(\sqrt{r^2\cos^2\phi\sin^2\theta + r^2\sin^2\phi\sin^2\theta + r^2\cos\theta^2 + \rho^2 - 2r\rho\cos\theta}-\rho)r^2\sin\theta = \\ = \delta(\sqrt{r^2+\rho^2-2r\rho\cos\theta}-\rho)r^2\sin\theta$$ Calculamos el gradiente de la función como: $\nabla g(r,\theta) = \frac{1}{2\sqrt{r^2+\rho^2-2\rho\cos\theta}}(2r-2\rho\cos\theta, 2\frac{r}{r}\sin\theta,0)$. Finalmente $|\nabla g(r,\theta)| = 1$. Podemos calcular $g^{-1}(0) = \{(2\rho\cos\theta, \theta, \phi),\theta \in [0,\frac{\pi}{2}], \phi \in [0,2\pi]\}$. El elemento de área de la superficie es $dA = 2\rho^2\sin2\theta\,d\theta\,d\phi$. Entonces finalmente: $$\int_{0}^{2\pi}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\int_{0}^{\infty}{p_D(r,\theta)\,dr}\,d\theta}\,d\phi} = \int_{0}^{2\pi}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\rho^2\sin2\theta\,d2\theta}\,d\phi} = 4\pi\rho^2$$

Ahora consideremos una variante ligeramente diferente: $p_A(r) = \delta(r^2 - \rho^2)r^2\sin\theta$, $|\nabla g(r)| = 2r$ $$\int_{0}^{2\pi}{\int_{0}^{\pi}{\int_{0}^{\infty}{\delta(r^2-\rho^2)r^2\sin\theta\,dr}\,d\theta}\,d\phi} = \int_{0}^{2\pi}{\int_{0}^{\pi}{\frac{\rho^2\sin\theta}{2\rho}\,d\theta}\,d\phi} = 2\pi\rho$$

Sorprendentemente (al menos para mí) obtenemos un resultado diferente, que sin embargo para el $\delta$ definido así, supuestamente es correcto (creo que el resultado de $2\pi\rho$ es solo una coincidencia afortunada). Por lo tanto, se debe tener cuidado con la función de mapeo.

Después de transformar a coordenadas cartesianas, trasladar y regresar a coordenadas esféricas obtenemos $p_D(r, \theta) = \delta(r^2-2\rho\cos\theta)r^2\sin\theta$, $|\nabla g(r,\theta)| = 2\sqrt{r^2+\rho^2-2r\rho\cos\theta}$. Utilizando nuevamente la fórmula de coárea:

$$\int_{0}^{2\pi}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\int_{0}^{\infty}{p_D(r,\theta)\,dr}\,d\theta}\,d\phi} = \int_{0}^{2\pi}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\rho^2\sin2\theta}{2\sqrt{\rho^2}}\,d2\theta}\,d\phi} = 2\pi\rho$$

En conclusión, parece que no es correcto sustituir directamente cuando la función delta está compuesta con una función diferente que la identidad (o $\pm const$). En ese caso específico, se debe utilizar la fórmula de coárea. Además, parece que tenemos la relación $\delta_S(x) = \delta(g(x))|\nabla g(x)|$, donde $S=g^{-1}(0)$:

$$\int_{R^n}{f(x)\delta(g(x))|\nabla g(x)|\,dx} = \int_{R^n}{f(x)\delta_S(x)\,dx} = \int_{S}{f(x)\,d\sigma(x)}$$

Agradezco mucho la contribución de Maxim y David Holden, que en última instancia me ayudó a entender esto.

Editar: Una lectura muy interesante que encontré más tarde: https://www.mathpages.com/home/kmath663/kmath663.htm Sin duda ayuda a comprender el problema desde un punto de vista intuitivo también.