Demostrando que $\cos^p{\Theta} \le \cos{p\Theta}$ , para $0<\Theta<\frac{\pi}{2}$ y $0<p<1$ analizando $f(\theta)=\frac{\cos^p\Theta}{\cos p\Theta}$

Question

Dado $0 < \Theta < \frac{\pi}{2}$ y $0 < p < 1$ , demuestran que $$\cos^p{\Theta} \le \cos{p\Theta}$$

¿Puede comprobar si mi prueba es correcta? También me gustaría saber si hay otras formas de probar esto.

Prueba. Dejemos que $$f(\Theta) = \frac{\cos^p{\Theta}}{\cos{p\Theta}}$$ considerando $p$ fijo. La derivada es

$$f'(\Theta) = \frac{p*\cos^{p-1}{\Theta}*{(-\sin{\Theta})*\cos{p\Theta} -\cos^p{\Theta}*(-\sin{p\Theta}*p) } } {\cos^2{p\Theta}} = \frac{p*\cos^{p-1}{\Theta}*\sin{(p-1)\Theta}}{\cos^2{p\Theta}}$$

Tenemos $f(0)=1$ y porque $0<p<1$ El término $\sin(p-1)\Theta$ hace que la derivada sea negativa: $f'(\Theta) < 0$ en $(0,\frac{\pi}{2})$ .

En $0$ tenemos $f'(0)=0$ por lo que no podemos deducir inmediatamente que $f$ es decreciente en todos los $[0,\frac{\pi}{2})$ .

Sin embargo, teniendo en cuenta que $f(0)=1, f(\frac{\pi}{2})=0$ y ambos $f$ y $f'$ son continuas en $[0,\frac{\pi}{2})$ Si se diera el caso de que $f$ se eleva por encima de $1$ en algunos $\Theta \in (0,\frac{\pi}{2})$ , $f$ tendría que tener un máximo local en algún lugar de $(0,\frac{\pi}{2})$ con la derivada desapareciendo en ese punto, lo que no puede ocurrir. Por lo tanto, $f(\Theta) \le 1$ en todo $[0,\frac{\pi}{2}]$ , Q.E.D.

Answer 1

Utilizando el Teorema del Valor Medio se puede demostrar el siguiente lema:

Supongamos que $f(x)$ es continua en $[a,b]$ y tiene derivación en $(a,b)$ . Si $f'(x)<0$ para $x\in(a,b)$ entonces $f(x)$ es estrictamente decreciente en $[a,b]$ .

Así que sólo necesitas $f'(\Theta) < 0$ para $\Theta\in(0,\pi/2)$ ¡en su situación!

También podemos tratar éste de la siguiente manera: Para arreglar $p\in(0,1)$ , dejemos que $$f(x)=\cos px-\cos^px,x\in[0,\pi/2],$$ entonces $f$ es continua en $[0,\pi/2]$ y es diferenciable en $(0,\pi/2)$ . Su derivado es $$f'(x)=p\sin x\left(\cos^{p-1}x-\frac{\sin px}{\sin x}\right),x\in(0,\pi/2).$$ Porque $p\in(0,1)$ , $0<px<x<\pi/2$ tenemos $$0<\frac{\sin px}{\sin x}<1<\frac{1}{\cos^{1-p}x}=\cos^{p-1}x.$$ Así que $$f'(x)>0,\ \forall x\in(0,\pi/2).$$ Esto implica $$f(x)>f(0)=0,\forall x\in(0,\pi/2).$$