Propiedad de funciones lisas sobre los adeles.

Question

Deje $k$ ser un campo de número, $\mathbb A$ el anillo de adeles de $k$, $\mathbb A_f$ lo finito adeles, y $\mathbb A_{\infty}$ el infinito adeles.

Deje $\phi: \mathbb A = \mathbb A_{\infty} \times \mathbb A_f \rightarrow \mathbb C$ ser una función continua que es suave en la primera variable y localmente constante en la segunda variable. Algunos autores llaman a este tipo de función suave.

Es el caso de que para cada $x \in \mathbb A$, existe un abierto vecindario $U$ de $x$, y un subgrupo compacto $H$ de $\mathbb A_f$, de tal manera que

$$\phi(x'+h) = \phi(x')$$

para todos los $x' \in U, h \in H$?

Este parece ser el reclamo de una respuesta a una de mis preguntas en Mathoverflow, que estoy tratando de entender.

Mi intento:

Lema 1: Para cada $x \in \mathbb A$, existe un abierto compacto subgrupo $H$ de $\mathbb A_f$ tal que $\phi(x+h) = \phi(x)$ para todos los $h \in H$.

El problema es si en el Lema podemos optar $H$ uniforme para $x'$ suficientemente pequeño barrio de $x$.

La prueba del Lema 1: Deje $x = (x_1,x_2) \in \mathbb A = \mathbb A_{\infty} \times \mathbb A_f$. Existe un abierto vecindario $V \subset \mathbb A_f$ de $x_2$ tales que $$\phi(x_1,y') = \phi(x_1,x_2)$$ for all $y' \en V$. Let $H$ be an open compact subgroup of $\mathbb A_f$ which is contained in the neighborhood $V - x_2$ of the identity. Then for all $h \H$, we have $h + x_2 \en V$, y así

$$\phi(x + h) = \phi((x_1,x_2) + (0,h)) = \phi(x_1,x_2+h) = \phi(x_1,x_2) = \phi(x)$$ $\blacksquare$

Para demostrar lo que quiero, definitivamente voy a necesitar hacer uso del hecho de que $\phi$ es continua. Hasta ahora no he tenido éxito.

Answer 1

Dicen que una función de $f:X\times Y\to Z$ es [local] [constante en la segunda variable] si cada una de las $(x,y)$ tiene un vecindario $U\times V\subset X\times Y$ de $(x,y)$ tal que $f(u,v)=f(u,v')$ para todos los $u\in U$ e $v,v'$ en $V.$

Dicen que una función de $f:X\times Y\to Z$ es [localmente constante] [en la segunda variable] si para cada una de las $(x,y)$ hay un barrio $V\subset Y$ de $y$ tal que $f(x,v)=f(x,v')$ para todos los $v,v'$ en $V.$

Suena como que usted está utilizando el segundo significado para definir las funciones lisas. Yo creo que la primera definición es correcta y que la segunda definición es incorrecta. En menos de una rápida en Google de "suave adelic de la función".

He aquí un contraejemplo que espero responda tu pregunta.

Deje $\psi:\mathbb R\to\mathbb R$ ser una protuberancia función tal que $\psi(x)=1$ para $|x|\leq 1$ e $\psi(x)=0$ para $|x|\geq 2.$ Definir una función $\phi:\mathbb A_\mathbb{Q}\to\mathbb R$ por

$$\phi(x\infty,x_2,\dots)=\begin{cases} x_\infty\cdot \psi(x_\infty/|x_2|_2)&(x_2\neq 0)\\ x_\infty&(x_2=0) \end{casos}$$

donde $|x_2|_2$ es lo habitual en la $2$-ádico de la norma. A ver este es continua, definir $N=\{0\}\cup\{2^{-v}\mid v\in\mathbb Z\}.$ Si usted cree que el mapa de $\mathbb A_\mathbb{Q}\to\mathbb R\times N$ dado por $(x_\infty,x_2,\dots)\mapsto(x_\infty,|x_2|_2)$ es continuo, y que el mapa $\mathbb R\times N\to\mathbb R$ definido por $(x,y)\mapsto \begin{cases}x\cdot \psi(x/y)&(y\neq 0)\\x&(y=0)\end{cases}$ es continua, entonces usted debe creer en su composición, $\phi$ es también continua.

Esta función es [localmente constante] [en la segunda variable]: este es de esperar que claro para $x_2\neq 0,$ , mientras que para comprobar la propiedad en $x_2=0$ necesitamos ese $\phi(0,x_2,\dots)=0$ para todos los $x_2,$ y para cada una de las $x_\infty\neq 0$ tenemos $\phi(x_\infty,x_2,\dots)=0$ siempre $|x_2|_2\leq \tfrac12 |x_\infty|.$

Pero no hay $U,H$ con $U$ abierto barrio de $0$ e $H$ abierto subgrupo de $\mathbb Q_2$ tal que $\phi(u,h,\dots)=\phi(u,0,\dots)$ para todos los $u\in U$ e $h\in H.$ Sólo tiene que elegir una no-cero $h\in H$ y tome $0<u\leq |h|_2$ para obtener $\phi(u,h,\dots)=u\neq 0=\phi(u,0,\dots).$