Si diverge la serie positiva $\sum a_n$ y $s_n=\sum\limits_{k\leqslant n}a_k$ y $\sum a_n/s_n$ diverge, así

Question

Por lo que he estado tratando de averiguar cómo probar lo siguiente.

Que $(a_n)$ ser una secuencia de números positivos que $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n =\infty$ y $s_n=\sum\limits_{i=1}^n a_i$. Entonces $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{a_n}{s_n} =\infty$ así.

Puedo comprobarlo comparando a $\int_1^\infty \frac{1}{x} \, dx $ si limita la secuencia $a_n$ $M$, pero que es lo que he podido conseguir.

Answer 1

Desde $s_n\to+\infty$ cuando $n\to\infty$, cada $n\geqslant1$ allí existe algunos % finito $m\gt n$tal que $s_m\geqslant2s_n$. En particular, $\sum\limits_{k=n+1}^ma_k/s_k\geqslant\sum\limits_{k=n+1}^ma_k/s_m=1-(s_n/s_m)\geqslant1/2$. Así, los restos de la serie $\sum\limits_ka_k/s_k$ no convergen a cero, QED.