Así que me pregunto si hay una fórmula para que cuando haya una longitud de borde definida, pueda calcular la cantidad de bordes de un polígono regular al conocer su longitud de esquina a centro, o viceversa.
Entonces, digamos que nuestra longitud de borde definida es 1, luego, al saber que la longitud de la esquina al centro es $\frac{\sqrt2}{2}$ , sé que es un cuadrado. Y si la longitud es una, sé que es un hexágono.
Sí. La cantidad que usted se refiere es el radio del polígono, y se tiene la fórmula $$r=\frac{s}{2\sin\left(\frac{180}{n}\right)}$$ donde $s$ es el lado de la longitud de la poligonal y $n$ es el número de lados. Así que, dado que $r$ e $s$, simplemente puede resolver la ecuación anterior para $n$.
Sí, y aquí es la lógica de la misma.
Para mostrar cómo, he dibujado un cuadrado, pentágono y hexágono.
En cada caso, he extraído las mismas líneas de construcción - un círculo que toca a todos sus esquinas (podemos hacerlo con cualquier polígono regular). He etiquetado la longitud de la "borde definido" como $s$ y la longitud de esquina en el centro como $r$. Voy a llamar al número de lados, $n$.
También he marcado una línea gris que divide en dos la orilla, desde el centro. Porque de la manera que yo he colocado la línea, es una bisectriz perpendicular del borde (cruza en ángulo recto) de manera que cada mitad es un triángulo de ángulo recto. El triángulo de ángulo recto tiene un lado $r$, y una cara de $s\big/2$, y he etiquetado el ángulo que estos hacen en el centro, $A$.
La trigonometría básica dice que por el ángulo derecho de triángulos, $$\begin{align} \sin (A) &= \frac{\left[\dfrac s2\right]}r = \frac s{2r}\\ A &= sin^{-1} \left(\frac s{2r}\right) \end{align}$$
Pero también sabemos que cada borde, "ocupa" $2\times A$ grados, y por lo $n$ lados se "toma" $2\times A\times n$ grados. Pero todos los $n$ partes deben tomar hasta 360 grados, el número de grados en el centro. Por lo $2\cdot A\cdot n = 360$.
Ahora podemos resolver el problema
Desde $$\begin{align} 2An &= 360\\ An &= 180\\ \sin^{-1}\left(\frac s{2r}\right)\cdot n &= 180\\ n &= \frac{180}{\sin^{-1}\left(\dfrac s{2r}\right)} \end{align}$$
$s=1, r=\frac{\sqrt2}{2}$
$$\implies n = \frac{180}{\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}}\right)} = \frac{180}{45} = 4$$
Así que tu ejemplo de un objeto era un cuadrado (por los 4 lados).
$s=1, r=1$
$$\implies n = \frac{180}{\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{2\cdot1}\right)} = \frac{180}{30} = 6$$
Para que su ejemplo fue objeto de un hexágono (6 lados).
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