I) En Palatini $f(R)$ gravedad la densidad lagrangiana es $^1$
$$ {\cal L}(g,\Gamma)~=~ \frac{1}{2\kappa}\sqrt{-g} f(R) + {\cal L}_{\rm m}; \tag{1}$$
con la densidad lagrangiana de la materia ${\cal L}_{\rm m}$ ; con curvatura escalar
$$R~:=~ g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}(\Gamma);\tag{2}$$
con Curvatura de Ricci $R_{\mu\nu}(\Gamma)$ y donde
$$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}~=~\Gamma^{\lambda}_{\nu\mu}\tag{3}$$
es una torsión libre arbitraria $^2$ conexión.
II) Como menciona OP, la palabra Palatini se refiere a que la métrica $g_{\mu\nu}$ y la conexión $\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$ son independiente variables $^3$ . Por lo tanto, obtenemos dos tipos de Ecuaciones EL :
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Las ecuaciones EL $$ f^{\prime}(R)R_{\mu\nu} -\frac{1}{2}f(R)g_{\mu\nu}~\stackrel{(1)+(5)}{\approx}~\kappa T_{\mu\nu} \tag{4}$$ para la métrica $g_{\mu\nu}$ son la generalización de EFE , donde $$T^{\mu\nu}~:=~\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_{\rm m}}{\delta g_{\mu\nu}} \tag{5} $$ es la materia Hilbert tensor tensión-energía-momento (SEM) . [En la ecuación (4) el $\approx$ significa igualdad en las ecuaciones de movimiento. En esta respuesta, utilizamos $(-,+,\ldots,+)$ Convención de signos de Minkowski en $d$ dimensiones del espacio-tiempo].
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Si la acción de la materia $S_{\rm m}$ no depende de la conexión $\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$ entonces las ecuaciones EL $$ \nabla_{\lambda}\hat{\mathfrak{g}}^{\mu\nu} ~\stackrel{(1)}{\approx}~0,\qquad \hat{\mathfrak{g}}^{\mu\nu} ~:=~\sqrt{-g} f^{\prime}(R) g^{\mu\nu} ~\stackrel{(8)}{=}~\sqrt{-\hat{g}} \hat{g}^{\mu\nu}, \tag{6}$$ para la conexión $\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$ resulta ser la condición de compatibilidad métrica $$\nabla_{\lambda}\hat{g}_{\mu\nu} ~\stackrel{(6)+(8)}{\approx}~0\tag{7}$$ para un conformemente equivalente métrica $$ \hat{g}_{\mu\nu}~:=~f^{\prime}(R)^{\frac{2}{d-2}} g_{\mu\nu}, \tag{8}$$ conocido como el La métrica del marco de Einstein . En otras palabras, la solución clásica para $\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$ es el Conexión Levi-Civita para la métrica del marco de Einstein $\hat{g}_{\mu\nu}$ .
III) Entonces la gravedad de Einstein (RG) con una posible constante cosmológica
$$ f(R)~=~R-2\Lambda,\tag{9} $$
o de forma equivalente
$$ f^{\prime}(R)~=~1,\tag{10}$$
corresponde al caso especial en el que las dos métricas $g_{\mu\nu}$ y $\hat{g}_{\mu\nu}$ coinciden, y por lo tanto $\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$ se convierte en la conexión Levi-Civita para $g_{\mu\nu}$ .
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$^1$ Es natural sustituir la densidad lagrangiana (1) por la densidad lagrangiana extendida
$$ \tilde{\cal L}(g,\Gamma,\Phi)~=~ \frac{1}{2\kappa}\sqrt{-g}\{\Phi R-V(\Phi)\} + {\cal L}_{\rm m}; \tag{11}$$
con un escalar auxiliar dilatón campo $\Phi$ y donde el potencial
$$V(\Phi)~:=~\sup_r(\Phi r -f(r))\tag{12}$$
es el Transformación de Legendre de la función $f$ . Si integramos el campo escalar auxiliar $\Phi$ , entonces volvemos a la $f(R)$ La densidad lagrangiana (1) de la que partimos. Las ecuaciones EL
$$ \nabla_{\lambda}\hat{\mathfrak{g}}^{\mu\nu} ~\stackrel{(1)}{\approx}~0,\qquad \hat{\mathfrak{g}}^{\mu\nu} ~:=~\sqrt{-g} \Phi g^{\mu\nu} ~\stackrel{(14)}{=}~\sqrt{-\hat{g}} \hat{g}^{\mu\nu}, \tag{13}$$
para la conexión $\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$ se convierten en la condición de compatibilidad métrica (7) para la métrica del marco de Einstein
$$ \hat{g}_{\mu\nu}~:=~\Phi^{\frac{2}{d-2}} g_{\mu\nu}. \tag{14}$$
Después de la conexión $\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$ se ha integrado, la densidad lagrangiana (11) se convierte en
$$ \tilde{\cal L}(g,\Phi)~=~ \frac{1}{2\kappa}\sqrt{-\hat{g}}\{R(\hat{g})-\Phi^{\frac{d}{2-d}}V(\Phi)\} + {\cal L}_{\rm m} , \tag{15}$$
donde la ec. (14) se asume implícitamente.
Sin embargo, lamentablemente la transformada de Legendre $V$ no existe para la gravedad de Einstein (9), por lo que no consideraremos más la densidad lagrangiana extendida (11) en esta respuesta.
$^2$ Se podría permitir una pieza de torsión no dinámica, pero no lo haremos aquí por simplicidad. Para más información sobre torsión Véase, por ejemplo, también este Puesto de Phys.SE.
$^3$ Normalmente, en las formulaciones que no son de Palatini, integramos la conexión $\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$ y mantener la métrica $g_{\mu\nu}$ . Eddington y Schrödinger propusieron la frente a ¡! Analicemos aquí esta posibilidad. Definamos, para mayor comodidad, una notación de doble índice $M=\mu\mu^{\prime}$ y la siguiente notación abreviada
$$\frac{f(R)}{2f^{\prime}(R)}~=:~\hat{f}(R) ~\equiv~ \hat{f}_0+\hat{f}_1R +\hat{f}_2(R).\tag{16}$$
Consideremos sólo el vacío
$$T_{\mu\nu}~=~0.\tag{17}$$
a partir de ahora. Entonces tenemos
$$g^M~\stackrel{(4)+(16)+(17)}{\approx}~\hat{f}(R)R^M,\tag{18}$$
donde $R^M$ es el tensor de Ricci inverso. Equivalentemente, tenemos
$$\left(\delta^M_N - \hat{f}_1 R^M R_N\right) g^N~\stackrel{(16)+(18)}{\approx}~\left(\hat{f}_0+f_2(R) \right)R^M.\tag{19}$$
Así obtenemos una ecuación de punto fijo para la métrica inversa
$$g^N~\stackrel{(19)}{\approx}~\left(\delta^N_M +\frac{\hat{f}_1}{1-d\hat{f}_1} R^N R_M\right)\left(\hat{f}_0+\hat{f}_2(R) \right)R^M$$ $$~=~ \frac{1}{1-d\hat{f}_1}\left(\hat{f}_0+\hat{f}_2\left(g^MR_M\right) \right)R^N.\tag{20}$$
Especialicemos en la gravedad de Einstein (9). Entonces
$$\hat{f}_0~=~-\Lambda;\qquad\hat{f}_1~=~\frac{1}{2};\qquad\hat{f}_2(R)~=~0.\tag{21}$$
La métrica inversa se convierte en
$$g^N~\stackrel{(20)+(21)}{\approx}~\frac{2\Lambda}{d-2}R^N.\tag{22}$$
Y por lo tanto $$R~\stackrel{(22)}{\approx}~\frac{2d}{d-2}\Lambda,\tag{23}$$
y
$$g_{\mu\nu}~\stackrel{(2)+(22)}{\approx}~\frac{d-2}{2\Lambda}R_{\mu\nu}(\Gamma).\tag{24}$$
Así que el Densidad lagrangiana EH se convierte en Born-Infeld -como:
$${\cal L}(\Gamma)~\stackrel{(1)+(17)+(23)+(24)}{\approx}~\frac{1}{\kappa}\left(\frac{d-2}{2\Lambda}\right)^{\frac{d}{2}-1}\sqrt{-\det(R_{\mu\nu}(\Gamma))}.\tag{25}$$
Nótese que la acción de Eddington-Schrödinger (25) sólo funciona para un constante cosmológica $\Lambda\neq 0$ .
