$f$ es claramente continua en todos los subconjuntos compactos de $X$ , por lo que esto es cierto siempre que $X$ es generado de forma compacta que incluye la mayoría de los casos de interés práctico.
Es falso en general. Dejemos que $X$ sea un conjunto incontable dotado de la topología contable (los subconjuntos cerrados son precisamente los subconjuntos más contables y $X$ ). Los subconjuntos compactos son precisamente los subconjuntos finitos (ejercicio), cada uno de los cuales tiene la topología discreta, por lo que toda función fuera de $f$ es continua en subconjuntos compactos, y una secuencia de funciones $f_n : X \to Y$ converge uniformemente a $f$ en subconjuntos compactos si y sólo si converge puntualmente a $f$ . No es difícil construir un contraejemplo a partir de aquí.
Mentí; mi elección de $X$ anterior no puede llevar a un contraejemplo. El problema es que la preimagen de todo conjunto abierto en $Y$ debe ser un subconjunto contable de $X$ Así que si $Y$ es un espacio Hausdorff con más de un punto en él, hay dos subconjuntos abiertos disjuntos $U, V$ de $Y$ cuyas preimágenes en $X$ no pueden ser disjuntos, por lo que toda función continua de $X$ a un espacio de Hausdorff es constante.