f es claramente continua en todos los subconjuntos compactos de X , por lo que esto es cierto siempre que X es generado de forma compacta que incluye la mayoría de los casos de interés práctico.
Es falso en general. Dejemos que X sea un conjunto incontable dotado de la topología contable (los subconjuntos cerrados son precisamente los subconjuntos más contables y X ). Los subconjuntos compactos son precisamente los subconjuntos finitos (ejercicio), cada uno de los cuales tiene la topología discreta, por lo que toda función fuera de f es continua en subconjuntos compactos, y una secuencia de funciones fn:X→Y converge uniformemente a f en subconjuntos compactos si y sólo si converge puntualmente a f . No es difícil construir un contraejemplo a partir de aquí.
Mentí; mi elección de X anterior no puede llevar a un contraejemplo. El problema es que la preimagen de todo conjunto abierto en Y debe ser un subconjunto contable de X Así que si Y es un espacio Hausdorff con más de un punto en él, hay dos subconjuntos abiertos disjuntos U,V de Y cuyas preimágenes en X no pueden ser disjuntos, por lo que toda función continua de X a un espacio de Hausdorff es constante.