Integración - involucrando logaritmo

Question

Tengo una ligera confusión sobre cómo integrar las funciones de la forma: $$\int\frac{a}{x}dx$$

Supongamos que tenemos la siguiente función: $$\int\frac{-2}{x}dx$$ Hay dos maneras en las que podemos proceder a integrar esta función. Uno es para el tratamiento de la $-2$ signo como una constante y lo saca de la función de integración: $$-2\int\frac{1}{x} = -2\ln{x} = \ln{\frac{1}{x^2}}$$ Otra manera de hacer esto es para el tratamiento de la $-2$ como parte de la integración de la variable: $$\int\frac{1}{-0.5x}dx = -2\ln{(-0.5x)}$$

Esto parece obtener dos respuestas diferentes. Cuál es el método correcto? O es que hay algo que me estoy perdiendo?

Answer 1

Para ser correcto, debes usar ese

PS

no solo$$\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$ (como definir el logaritmo para números negativos requiere algo de cuidado). Dado esto, has encontrado dos antiderivadas:

PS

El segundo se puede escribir como

PS

Estos difieren por una constante, que no es un problema.

Answer 2

Ambos métodos son correctos. Los resultados difieren por una constante:

PS

Tenga en cuenta que$$-2\ln|{-0.5\cdot x}|=-2\ln|x|-2\ln(0.5)=-2\ln|x|+C$ $