Límite de uso por cupón

Question

Cuál es el límite de: $$\lim_\limits{x\to0}{2x-\sin{x}\over3x+\sin{x}}$ $

Lo que he intentado:

PS

Estoy perdido en este punto, no tengo idea de qué hacer, o si debería haber hecho otra cosa.

Answer 1

¡Divide por $x$ ! $$\lim_{x\to0}\frac{2x-\sin x}{3x+\sin x}=\lim_{x\to0}\frac{2-\frac{\sin x}x}{3+\frac{\sin x}x}=\frac{2-1}{3+1}=\frac14$ $ donde se usó el límite conocido $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$ .

Answer 2

Como $\sin x = x + O(x)$ para $x \rightarrow 0$ , su límite es: $\large{\lim_{x\to 0} \frac{2x - x + O(x^3)}{3x + x - O(x^3)}}$ , por lo tanto , para $x \rightarrow 0$ , el resultado es $\frac{1}{4}$ .

Answer 3

Puedes hacer esto con la regla de L Hospital. Diferenciar numerador y denominador con respecto a x.

PS

La regla de L'Hospital dice que si $$\lim_{x\to0}\frac{2x-\sin x}{3x+\sin x}=\frac{2-cosx}{3+cosx}=\frac{2-1}{3+1}=\frac14$ y $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = 0$ (o $\displaystyle \lim_{x \to a}g(x) = 0$ y $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = \infty$ ) entonces $\displaystyle \lim_{x \to a}g(x) = \infty$

Answer 4

Como mencionó Larry en el comentario, use L'hospital, como $2x-\sin{x}\to 0 $ y también $3x+\sin x\to 0$ como $x\to 0$ . PS