$n(n+1)(n+2)$ no es un poder perfecto

Question

Tenemos$n,n+1, n+2 \in \mathbb Z^+$ Su producto no puede ser una exponenciación completa. ¿Por qué?

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Noté que$gcd(n,n+1)=1$ y$gcd(n+1,n+2)=1$ Esto podría ser un buen punto de partida en la prueba. ¿Pero cómo procedo? Gracias

Answer 1

Como no compruebas los enlaces que te di, escribo esta respuesta:

En primer lugar,$n+1$ y$n(n+2)=(n+1)^2-1$ son primos, por lo que ambos son perfectos$k$ - poderes para algunos$k>1$. Deje$n+1=a^k$ y$(n+1)^2−1=b^k$. Entonces $(a^2)^k=1+b^k$. por lo tanto,$$(a^2)^k-b^k=1 $ $ pero no hay muchas potencias consecutivas positivas.

Prueba de @ Andrés Nikolas

Answer 2

En 1975, Erdos y Selfridge demostraron que el producto de enteros consecutivos nunca es una potencia.

Aquí hay un enlace al documento: http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ijm/1256050816

Aquí hay un enlace a la revista donde apareció: http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1256050816

Answer 3

$n(n + 1)(n + 2) = n^3 + 3n^2 + 2n$. Obviamente esto es divisible por$n$. Entonces dividámoslo por$n$: obtenemos$n^2 + 3n + 2$. Si$n > 2$, entonces$n^3 - n^2 > 3n + 2$, lo que significa que$n^2 + 3n + 2$ está entre $n^2$ y$n^3$. Por lo tanto,$n^2 + 3n + 2$ no puede ser una potencia perfecta de$n$, y tampoco puede$n^3 + 3n^2 + 2n$.

Esto aún te deja a$n = 1$ y$n = 2$ para verificar, pero eso se hace con bastante facilidad.