Demuestre que la estadística$T(X)$ está completa.

Question

Ejercicio: Vamos a $X_1,\ldots,X_n$ se muestra un ejemplo de la distribución de la densidad de $$f(x|\theta) = \dfrac{2x}{\theta^2}\mathbb{1}_{(0,\theta)}(x)$$ w.r.t. la medida de Lebesgue.

Mostrar que la estadística $T(X) = \max(X_1,\ldots,X_n)$ es completa.

Lo que he intentado: sé que una estadística $T$ a que sea completo para $\theta\in\Omega$ si por cualquier Borel función $f$, $\operatorname{E}_\theta f(T) = 0$ para todos los $P_\theta \in \Omega$, implica que $f(T)=0$, $P_\theta$-una.s. para todos los $\theta$. Así que lo que quiero hacer es tomar $\operatorname{E}_\theta f(T)$ y demostrar que esto es sólo igual a cero cuando se $f(T) = 0$. Si no me equivoco, eso significa que debo mostrar que $$\displaystyle\int f(T(X))\dfrac{2x}{\theta^2}\mathbb{1}_{(0,\theta)}(x)dx = 0$$ implies $f(T(X)) = 0$. No estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí, sin embargo.

Pregunta: ¿Cómo puedo resolver este ejercicio?

Gracias de antemano!

Answer 1

$\def\d{\mathrm{d}}$Como ya se ha derivado en esta respuesta, la función de densidad de $T$ es$$ f_T(t; θ) = \frac{2n}{q^{2n}} t^{2n - 1} I_{(0, q)}(t), $$ por lo tanto para cualquier Borel función de $g$,$$ E_θ(g(T)) = \int_0^θ g(t) \cdot \frac{2n}{q^{2n}} t^{2n - 1} \,\d t = \frac{2n}{q^{2n}} \int_0^θ g(t) t^{2n - 1} \,\d t. \etiqueta{1} $$

Si Borel función de $g$ cumple que$$ E_θ(g(T)) = 0, \quad \forall θ \in {\mit Θ} = (0, +\infty) $$ entonces por (1) no hay$$ \int_0^θ g(t) t^{2n - 1} \,\d t = 0, \quad \forall θ > 0 $$ lo que implica para cualquier intervalo de $(a, b) \subseteq (0, +\infty)$,$$ \int_a^b g(t) t^{2n - 1}\,\d t = 0. $$ Por lo tanto, $g(t) t^{2n - 1}$ es igual a $0$.e. en $(0, +\infty)$, lo $g(t)$ es igual a $0$.e. en $(0, +\infty)$. Por lo tanto para cualquier $θ > 0$,$$ P_θ(g(T) = 0) = \int_0^θ I_{\{t' \mid f(t') = 0\}}(t) \cdot \frac{2n}{q^{2n}} t^{2n - 1} \,\d t = \int_0^q \frac{2n}{q^{2n}} t^{2n - 1} \,\d t = 1. $$ Por lo tanto $T$ es completa.