Transformación de $|z-1|=1$ y $\mathrm{Re}(z)^2 = \mathrm{Im }(z)^2-1$ en $f(z) = \sqrt{z}$

Question

Tengo dos regiones en el plano complejo, definidas por $|z-1|=1$ y $(\,\mathrm{Im}(z))^2 = (\,\mathrm{Re}(z))^2-1$ , $\mathrm{Re}(z)>0$ .

Me piden que busque y dibuje la imagen de esas regiones bajo la cartografía $f(z) = \sqrt{z}$ .

Mi intento

Tenemos $f(z) = \sqrt{r}e^{i\frac{\theta}{2}}$ y $|z-1|=1 \iff r = 2\cos(\theta)$

Si $|z-1|=1 $ entonces: $$f(z) = \sqrt{2|\cos(\theta)|}\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + i\sqrt{2|\cos(\theta)|}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$$

Significa que $f(z)$ se encuentra en la traza de la curva $\left(\sqrt{2|\cos(\theta)|}\cos\left(\frac{\theta}{2}\right); \sqrt{2|\cos(\theta)|}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \right)$ si $|z-1| = 1.$

¿Tengo razón hasta ahora?

No podía reconocer esta curva de avión.

Y no sé cómo proceder en la región $(\,\mathrm{Im}(z))^2 = (\,\mathrm{Re}(z))^2-1$ . ¿Cómo puedo hacerlo?

Answer 1

1. $|z-1|=1$ es el círculo con centro $(1,0)$ Así pues $z=(\cos\theta+1)+i\sin\theta$ . En coordenadas polares, se tiene $z=\big(\sqrt{(1+\cos\theta)^2+\sin\theta^2}\big)e^{i\theta}=\big(\sqrt{2+2\cos\theta}\big)e^{i\theta}$ . Así:

$$f(z)=\big( \root4\of{2+2\cos\theta} \big)e^{\frac{i\theta}{2}}$$

Una aproximación numérica mostró que debía parecerse a una flor con 4 pétalos.

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2. $(\Im(z))^2=(\Re(z))^2-1$ en coordenadas polares:

$$r^2\sin^2\theta=r^2\cos^2\theta-1\implies r^2\cos2\theta=1$$

Así $r=\sqrt{1-\cos2\theta}$ Así que $z=\big(\sqrt{1-\cos2\theta}\big)e^{i\theta}$ . Entonces, aplicando $f$ :

$$f(z)=\big(\root4\of{(1-\cos2\theta)}\big)e^{\frac{i\theta}{2}}$$

Los resultados numéricos muestran que debe parecerse a un $8$ .

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Para dibujar, calcular algunos puntos puede resultar útil:

• Para qué valores de $\theta$ ¿el gráfico cruza el eje real y el eje imaginario?
• Para qué valores de $\theta$ ¿el gráfico cruza el origen?
• Para qué valores de $\theta$ alcanza máximos y mínimos (es decir, $\frac{dy}{dx}=0$ )?
• Para qué valores de $\theta$ ¿tenemos pendiente vertical (es decir, $\frac{dx}{dy}=0$ )?

Traza esos puntos en el plano y dibuja una línea que pase por cada punto en orden creciente de $\theta$ .

Tenga en cuenta que para los 2 últimos tipos de puntos, $x=\Re(f(z))$ y $y=\Im(f(z))$ entonces, puede utilizar derivadas paramétricas con respecto a $\theta$ .

Answer 2

Posible sugerencia:

Sea $z = x + yi$ . Emularemos este problema en el plano cartesiano.

Mediante la transformación $Re(z)^2 = Im(z)^2 - 1$ en $f$ estamos tomando la raíz de cada punto. A la inversa, $z^2 = (x^2 - y^2) + (2xy)i$ satisface $Re(z^2)^2 = Im(z^2)^2 - 1$ para cada punto $z$ en la curva transformada.

Este es el gráfico cartesiano $x^4 - 2x^2y^2 + y^4 = 4x^2y^2 - 1$

I.E. $x^4 - 6x^2y^2 + y^4 = - 1$

El primer problema puede hacerse de forma similar. La curva transformada es $|z^2 - 1| = 1$ Esto se traduce al plano cartesiano como $4x^2y^2 + x^4 + y^4 + 1 - 2x^2y^2 + 2y^2 - 2x^2 = 1$

I.E. $0 = 2x^2y^2 + x^4 + y^4 + 2y^2 - 2x^2$