Grupos automorfismos de álgebras clifford reales.

Question

Estoy seguro de que alguien ya ha trabajado-lo que todos los grupos relevantes en realidad, mi pregunta es acerca de cómo la firma de la dualidad interactúa con estos grupos.

Así, por un terrible cálculo, y la elección de un conveniente convención, $$Cl_{3,1} \simeq M_{4\times 4} (\mathbb{R})$$ y $$Cl_{1,3} \simeq M_{2\times 2} (\mathbb{H})$$ mientras que el automorphism grupos de estas cosas ordinarias de $\mathbb{R}$-álgebras son (de nuevo, terrible cálculo) $$G_{3,1} \simeq PGl_4(\mathbb{R})$$ y $$G_{1,3} \simeq Gl_2(\mathbb{H}) / \mathbb{R}^\times.$$ Mi (probablemente muy tonto) preguntas son

• Son estos grupos diferentes?
  • Si es así, lo que significa?
  • Si no, ¿cuál es la manera correcta de ver su isomorfismo?
• Funciona para todos los $p,q$$Cl_{p,q}$$Cl_{q,p}$?

Answer 1

Demasiados comentarios para caber en una caja de comentarios:

(1) la determinación inicial de las clases de isomorfismo de los álgebras de Clifford no debe ser tan terrible, si uno hace una de dos pasos de la inducción, a continuación, sólo necesitan saber cómo los cuaterniones de Hamilton surgir, frente a la división de álgebra.

(2) álgebras de Clifford de no degenerada cuadráticas formas incluso en dimensiones vectorspaces sobre un campo $k$ (al menos en el carácter no $2$) son las centrales, simple álgebras de más de $k$ (esto es, por eso mismo inducción), de modo que sus centros son sólo las copias del campo, aquí $\mathbb R$. A continuación, como Mauriano S. A. notas, el Skolem-Noether teorema muestra que todos los automorfismos son de interior. Por lo tanto, en cualquier caso, los automorfismos son unidades de álgebra, modulo $\mathbb R^\times$.

Por lo tanto, a menos que se lo he malinterpretado el sentido de $PGL(2,\mathbb H)$, su cálculo en el caso de cuaterniones no es correcto: me gustaría escribir la cosa como que $PGL(2,\mathbb H)$, pero en el sentido de que la "P" significa cociente por la central de copia de $\mathbb R^\times$, sólo, no por $\mathbb H^\times$. (De hecho, hay algún problema con lo que el otro iba a decir.)

(3) Los dos grupos no isomorfos. De hecho, c. 1964 en la India J. Matemáticas, A. Weil "Álgebras con involuciones y la clásica grupos", se muestra cómo hacer prácticamente todos los racionales formas (más de lo que groundfield) de la clásica grupos, significado de los tipos a,B,C,D, excepto la "excepcional"$E_6,E_7,E_8, F_4,G_2$. Yo no necesariamente se recomienda que la fuente, pero no exactamente de proceder a la fabricación de grupos esencialmente lo que está haciendo.

En particular, el álgebra de Clifford construcción a lo largo de $\mathbb R$ produce simple álgebras de más de $\mathbb R$. Hay dos de cada tamaño, a saber, el uso de los cuaterniones, y la que no. Los grupos resultantes tendrán la misma dimensión, y va a ser isomorfo al escalares se extiende a $\mathbb C$, pero no son isomorfos $\mathbb R$. Estos son los grupos de tipo a $A$.

Hay más $\mathbb R$-clases de isomorfismo de grupos de tipo $A$, es decir, unitaria grupos $U(p,q)$$p+q=n$. Y $GL(n,\mathbb C)$, cuando complexified, es de dos copias de $GL(n,\mathbb C)$, por lo que encaja en esta familia.

(4) Cómo se muestran no isomorfismo? Muchas posibilidades, pero tal vez la determinación de la "división real de rango" es más intuitiva: esto significa encontrar la mayor copia de los productos de $\mathbb R^\times$ dentro de las cosas. El "split" de la versión $GL(n,\mathbb R)$ es de rango $4$, mientras que $GL(2,\mathbb H)$ es de rango $2$. Projectifying resta $1$ a partir de ambos, así que todavía hay una disparidad. No isomorfos.