Demasiados comentarios para caber en una caja de comentarios:
(1) la determinación inicial de las clases de isomorfismo de los álgebras de Clifford no debe ser tan terrible, si uno hace una de dos pasos de la inducción, a continuación, sólo necesitan saber cómo los cuaterniones de Hamilton surgir, frente a la división de álgebra.
(2) álgebras de Clifford de no degenerada cuadráticas formas incluso en dimensiones vectorspaces sobre un campo k (al menos en el carácter no 2) son las centrales, simple álgebras de más de k (esto es, por eso mismo inducción), de modo que sus centros son sólo las copias del campo, aquí R. A continuación, como Mauriano S. A. notas, el Skolem-Noether teorema muestra que todos los automorfismos son de interior. Por lo tanto, en cualquier caso, los automorfismos son unidades de álgebra, modulo R×.
Por lo tanto, a menos que se lo he malinterpretado el sentido de PGL(2,H), su cálculo en el caso de cuaterniones no es correcto: me gustaría escribir la cosa como que PGL(2,H), pero en el sentido de que la "P" significa cociente por la central de copia de R×, sólo, no por H×. (De hecho, hay algún problema con lo que el otro iba a decir.)
(3) Los dos grupos no isomorfos. De hecho, c. 1964 en la India J. Matemáticas, A. Weil "Álgebras con involuciones y la clásica grupos", se muestra cómo hacer prácticamente todos los racionales formas (más de lo que groundfield) de la clásica grupos, significado de los tipos a,B,C,D, excepto la "excepcional"E6,E7,E8,F4,G2. Yo no necesariamente se recomienda que la fuente, pero no exactamente de proceder a la fabricación de grupos esencialmente lo que está haciendo.
En particular, el álgebra de Clifford construcción a lo largo de R produce simple álgebras de más de R. Hay dos de cada tamaño, a saber, el uso de los cuaterniones, y la que no. Los grupos resultantes tendrán la misma dimensión, y va a ser isomorfo al escalares se extiende a C, pero no son isomorfos R. Estos son los grupos de tipo a A.
Hay más R-clases de isomorfismo de grupos de tipo A, es decir, unitaria grupos U(p,q)p+q=n. Y GL(n,C), cuando complexified, es de dos copias de GL(n,C), por lo que encaja en esta familia.
(4) Cómo se muestran no isomorfismo? Muchas posibilidades, pero tal vez la determinación de la "división real de rango" es más intuitiva: esto significa encontrar la mayor copia de los productos de R× dentro de las cosas. El "split" de la versión GL(n,R) es de rango 4, mientras que GL(2,H) es de rango 2. Projectifying resta 1 a partir de ambos, así que todavía hay una disparidad. No isomorfos.