Diferencias entre$C_c^\infty[0,T]$ y$C_c^\infty(0,T)$

Question

Creo que es cierto que:

1. Si$f \in C_c^\infty(0,T)$, entonces$f(T)=f(0)=0$.
2. $C_c^\infty(0,T) \subset C_c^\infty[0,T]$
3. $C^\infty(0,T) \subset C_c^\infty[0,T]$
4. Si$f \in C_c^\infty[0,T]$, no significa necesariamente que$f(T)=f(0)=0$.

Finalmente, ¿qué sucede si defino un derivado débil como$$\int_0^T u\phi' = -\int_0^T u'\phi$ $ para todos$\phi \in C_c^\infty[0,T]$, en lugar de$C_c^\infty(0,T)$?

Pensaré más en esto, pero tal vez alguien ya lo haya estudiado. De todos modos, se agradecería más información sobre estas diferencias.

Answer 1

Primero vamos a asumir algunas de las definiciones (véase, por ejemplo, Gilbard-Trudinger página 10): $C^\infty([0,T])$ es el espacio de todas las funciones $f\in C^\infty((0,T))$ tal que $f$ y todos sus derivados, puede ser extendida continuamente, hasta el límite de $(0,1)$.

Con esta definición tenemos que todos los $f\in C^\infty([0,T])$ tiene soporte compacto, por lo tanto $$C^\infty([0,T])=C_c^\infty([0,T])$$

La última igualdad muestra que $3$ no es cierto y $4$ es cierto.

Por otro lado, si $f\in C_c^\infty ((0,T))$, entonces usted puede encontrar un $\delta >0$ (probar), de tal manera que $f(x)=0$$x\in (0,\delta)\cup (T-\delta,T)$, por lo tanto $1$ $2$ es cierto.

Para concluir, tenga en cuenta que si usted definir débil derivados (como se han formulado) utilizando el espacio de $C^\infty([0,T])$ como una prueba de espacio, entonces usted tiene algunos problemas con la integración por partes (se puede ver esto?).

Answer 2

Creo que la definición correcta para $C_c^\infty[0,T]$ debe ser

$$ C_c^\infty[0,T]=\{ f\en C_c^\infty(\mathbb{R}): \text{supp}(f) \subconjunto [0,T]\}, $$

dado que este es el análogo natural de la definición de $C_c^\infty(0,T)$. Esto da lugar a una indemnización equivalente a la definición de

$$ C_c^\infty[0,T]=\{ f\C^\infty[0,T] : f^{(n)}(0)=f^{(n)}(T)=0, \text{ para todo } n \geq0\}. $$

En este caso 4 es claramente falsa y la definición de la debilidad de los derivados se mantiene sin cambios.

Edit: La primera definición se puede encontrar, por ejemplo, en Trèves' "Topológicos, espacios vectoriales, las distribuciones y los núcleos" en la página 130 (donde se da el ejemplo de las funciones de prueba como un LF espacio).

Como veo que estás interesado en los Leones-Magenes la definición de $\mathcal{D}[a,b]$, permítanme señalar que su definición es equivalente a $C^\infty[a,b]$ por Borel del lexema (creo $V=\mathbb{R}$): definen

$$ \mathcal{D}[a,b]:= \{ f|_{[a,b]} : f\en C_c^\infty(\mathbb{R}) \}. $$ A partir de esto, obviamente,$\mathcal{D}[a,b] \subset C^\infty[a,b]$, y para la otra dirección tomar una función $f\in C^\infty[a,b]$ y tome $g\in C^\infty[b,\infty)$, de modo que $g^{(n)}(b)=f^{(n)}(b)$ todos los $n$. Esto le da una función de $C^\infty[a,\infty)$ que usted puede, a continuación, "cut-off" para tener compacto de apoyo. Haciendo lo mismo para el $a$ tenemos que $f\in \mathcal{D}[a,b]$, por lo que son de hecho el mismo.

Aviso de que $\textbf{don't}$ definir débil derivados con respecto a este espacio, pero con respeto a $\mathcal{D}]a,b[$ que es el habitual espacio de funciones de prueba.

Por otro lado, este responde otra pregunta tuya sobre por qué es $\mathcal{D}[a,b]$ denso en $W(a,b)$: Esta afirmación es el análogo del teorema que dice $C^\infty(\bar{\Omega})$ es denso en $W^{1,2}(\Omega)$ al $\Omega$ tiene buena límite.