Convergencia de sumas parciales de secuencias reales.

Question

Para todos los$i\in\mathbb{N}$, sea$(a_{i,n})_{n\in\mathbb{N}}$ una secuencia real que tiende a$0$ para$n\rightarrow\infty$. También sostiene que$|a_{i,n}|\leq1$ para todos$i,n\in\mathbb{N}$. ¿Es posible mostrar que \begin{align*} c_n:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i,n}\xrightarrow{n\rightarrow\infty}0?\end {align *} Gracias!

Answer 1

Contra ejemplo:$$a_{i,n}=\left\{ $$\begin{array}{ll} 1&n< 2i\\0 & n\ge 2i\end{array}$$ \right.\ . Es fácil ver que$\lim\limits_{n\to\infty}c_n=\frac{1}{2}$.

Answer 2

• $a_{i,n} ≤ 1$
• $∑a_{i,n} ≤ n$
• $(∑a_{i,n}) /n ≤ 1$
• $lim(∑a_{i,n}/n) \rightarrow0$

finaly$C_n \rightarrow0$

Answer 3

Creo que la respuesta depende de las secuencias en sí. Esto es lo que he pensado.

$\forall\ i\in \mathbb{N},\ \forall \epsilon>0,\ \exists N_i\in \mathbb{Z}^+$ st $$|a_{i,n}|<\epsilon$$ for all $n \ geq N_i$. Then let $N = \ max_ {i \ in \ mathbb {N}} N_i$. Now $\ mathbf {IF} \ N <\ infty$ then we see that $$|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^na_{i,n}|\leq\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |a_{i,n}|<\epsilon$$ for all $n \ geq N$, and consequently the sequence $c_n% #% 0$ converges to $\ mathbf {IF}$ siempre se mantiene.