prueba de irracionalidad de$\sqrt{n}+\sqrt{n+1}$ para cualquier$n>0$

Question

prueba de irracionalidad de$\sqrt{n}+\sqrt{n+1}$ para cualquier$n>0$

Mi intento

$\sqrt{n}+\sqrt{n+1}=\frac{p}{q}$

$2n+1+2\sqrt{n(n+1)}=\frac{p^2}{q^2}$

Ahora tenemos que mostrar que$2n+1+2\sqrt{n(n+1)}$ no puede ser una persona perfecta, pero no sé cómo.

Answer 1

Observe que$\sqrt{n}+\sqrt{n+1}$ es una raíz de$$x^4 -2 (2 n+1) x^2+1.$$ Now use the rational root theorem (assuming that $ n$ is an integer) to find that the only possible rational roots are $ \ pm 1 $.

Answer 2

$2n + 1 + 2\sqrt{n(n+1)}$ es irracional si y solo si$\sqrt{n(n+1)} = \sqrt{n^2 + n}$ es irracional. Luego observe que$$n^2 < n^2 + n < n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2,$ $ lo que implica que de hecho$n(n+1)$ no es un cuadrado perfecto. Pero las raíces cuadradas de los enteros positivos son enteros positivos o irracionales, por el teorema de la raíz racional o el lema de Gauss. Entonces para$x=\sqrt{n} + \sqrt{n+1}$, vemos que$x^2$ es irracional, y por lo tanto$x$ es irracional.

Answer 3

Si$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$ es racional, entonces es $$ \ frac {1} {\ sqrt {n +1} + \ sqrt {n}} = \ sqrt {n +1} - \ sqrt {n} $$ Por sumando y restando, obtenemos que tanto$\sqrt{n+1}$ como$\sqrt{n}$ son racionales.

No es difícil demostrar que$\sqrt{n}$ es racional si y solo si$n$ es un cuadrado perfecto, pero los únicos cuadrados consecutivos en los números naturales son$0$ y$1$.

Answer 4

Suponiendo que$\sqrt{n}+\sqrt{n+1}$ es un número racional, se sigue cuadrando que$\sqrt{n(n+1)}$ es un número racional. Dado un entero positivo$m$,$\sqrt{m}$ es un número racional solo si$m$ es un cuadrado, pero$n(n+1)$ no puede ser un cuadrado: si asumimos que es un cuadrado, Sigue que$$4n(n+1) = (2n+1)^2-1$ $ también es un cuadrado, pero los únicos cuadrados consecutivos son$0$ y$1$.