Polinomio característico de la matriz de adyacencia de un árbol.

Question

He leído que si$A$ es la matriz de adyacencia de un árbol$T$, entonces tenemos que

PS

donde$$\det(\lambda I - A) = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^k N_k(T) \lambda^{n-2k} $ es el número de coincidencias de tamaño$N_k(T)$ de$k$.

Sin embargo, no pude encontrar una prueba. Alguien sabe como hacerlo? ¡Gracias!

Answer 1

Esto es sólo una aplicación directa de la definición del determinante como el firmado suma de todos los permutada productos. Cada término en la suma corresponde a una permutación de los vértices, la cual se puede escribir como un producto de ciclos, y debido a que el árbol no contiene ciclos, por el término de no-cero de la permutación sólo puede contener $1$ - $2$- ciclos, con la $2$-ciclos correspondientes a los bordes. Cada una de las $2$ciclo se obtiene un factor de $-1$, y cada una de las $1$ciclo se obtiene un factor de $\lambda$, y el resultado de la siguiente manera.