Escribe $a = a_m b^m + \cdots + a_1 b + a_0$ en la base $b$ , como en la pregunta. Demostraré una afirmación diferente: la base $b$ suma de dígitos de $a$ debe ser como mínimo $n(b-1)$ . Esto implica fácilmente la afirmación original, porque cada dígito es como máximo $b-1$ .
La idea clave es que podemos comprobar la divisibilidad mediante $b^n-1$ tomando la suma de dígitos en base $b^n$ en lugar de $b$ repetidamente si es necesario. (Esto es análogo a la prueba habitual de divisibilidad en base 10 por $9$ . La afirmación precisa es que la suma de dígitos de $a$ en la base $b^n$ es congruente con $a$ modulo $b^n-1$ por lo que uno es divisible por $b^n-1$ si y sólo si el otro lo es). Así que si tomamos la suma de dígitos en base $b^n$ repetidamente hasta que sólo quede un dígito, este dígito debe ser $b^n-1$ .
Para terminar la demostración, observamos que al tomar sumas de dígitos en base $b^n$ nunca podemos aumentar la suma de dígitos de un número en base $b$ . Para ver esto, recordemos que la base $b^n$ la representación es $(a_0 + a_1 b + \cdots + a_{n-1} b^{n-1}) + (a_n + a_{n+1} b + \cdots + a_{2n-1} b^{n-1}) b^n + \cdots$ cuya base $b^n$ La suma de dígitos es $(a_0 + a_n + \cdots) + (a_1 + a_{n+1} + \cdots) b + \cdots + (a_{n-1} + a_{2n-1} + \cdots) b^{n-1}$ . Si no se lleva al añadir esto en la base $b$ entonces la base $b$ La suma de dígitos seguirá siendo la misma, es decir $a_0 + \cdots + a_m$ pero el transporte sólo puede reducirlo. Así que la base $b$ suma de dígitos de $a$ debe haber sido mayor o igual que la base- $b$ suma de dígitos de $b^n-1$ , a saber $n(b-1)$ y hemos terminado.
