La confusión acerca de la teoría de grupos; se puede utilizar la unión como grupo de operación?

Question

Así que estoy muy, muy nuevo grupo de teoría (he de saber sobre la existencia de alrededor de una semana) y estoy un poco confundida. Pensé que para cada conjunto de $S$, $$(\{x\in\mathcal{P}(S)\ |\ |x|\leq0.5|S|\},\cup)$$ Es un grupo. Así que he comprobado que los axiomas.

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Es obvio que: $$\forall A,B\subset S\ :\ A\cup B\subset S$$ con $|A\cup B|\leq |A|$$|A\cup B|\leq |B|$, pero $|A\cup B|\geq 0$. Así que hemos de cierre.

Ahora: $$\forall S\ :\ \emptyset\in\mathcal{P}(S)\wedge|\emptyset|=0\leq0.5|\mathcal{P}(S)|$$ $$\forall S\ :\ S\cup\emptyset=S$$ Por lo $\emptyset$ es nuestro elemento de identidad.

Sabemos que la unión es asociativa.

$S$ contiene $|S|$ elementos únicos, pero todos los elementos de a $\{x\in\mathcal{P}(S)\ |\ |x|\leq0.5|S|\}$ contiene en la mayoría de las $0.5|S|$ elementos únicos, lo que significa que: $$\forall a \in\{x\in\mathcal{P}(S)\ |\ |x|\leq0.5|S|\}\ :\ (\exists b \in \{x\in\mathcal{P}(S)\ |\ |x|\leq0.5|S|\}\ :\ a\cup b = \emptyset)$$ Por lo tanto, tenemos la recíproca.

Todos los axiomas son revisados, por lo $(\{x\in\mathcal{P}(S)\ |\ |x|\leq0.5|S|\},\cup)$ debe ser un grupo para cada conjunto de $S$.

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Ahora aquí está mi problema; la anulación de la ley no funciona y los elementos tienen diferentes matrices inversas. Parece que las pruebas tanto de la cancelación de la ley y el único inverso de la ley son independientes de la operación y sólo necesita los cuatro axiomas.

Así que, ¿dónde puedo ir mal?

Answer 1

Usted no tiene cierre. Deje $G=\left\{x\in\wp(S):|x|\le\frac12|S|\right\}$, y deje $a,b\in G$. No es suficiente con que $a\cup b\subseteq S$: usted necesita tener $a\cup b\in G$. Si $S=\{0,1\}$, $a=\{0\}$, y $b=\{1\}$,$a\cup b=\{0,1\}\notin G$.

Usted está en lo correcto que $\varnothing$ es un elemento de identidad de la unión.

Usted no tiene la recíproca: si $\varnothing\ne x\in G$, no es $y\in G$ tal que $x\cup y=\varnothing$: $x\cup y$ siempre contiene todos los elementos de a $S$ que ya está en $x$.

Añadido: Por cierto, usted puede utilizar $\triangle$ (diferencia simétrica): para cualquier conjunto $S$, $\langle\wp(S),\triangle\rangle$ es un Abelian grupo en el que cada elemento con la excepción de $\varnothing$, la identidad, tiene orden de $2$.

Answer 2

Deje $G := \{A \subset S : 2|A| \leq |S|\}$ ser el conjunto que estamos hablando.

$\cup$ es la unión, y $\cap$ es de intersección. Parece que se han mezclado estos mucho:

• Tanto en $\cup$ $\cap$ son asociativos en $\mathcal{P}(S)$, sin embargo sólo el $\cap$ está actualmente definida en $G$. $\cup$ no es una operación válida en $G$.

• $\emptyset$ es el elemento neutro de $\cup$, pero no $\cap$.

• Claramente para cualquier $A \in G$ existe $B \in G$ tal que $A \cap B = \emptyset$. Sin embargo, esto es irrelevante, ya que $\emptyset$ no es el elemento neutro de $\cap$.