Demuestra que la ecuación $a^2+b^2=c^2+3$ tiene infinitas soluciones enteras $(a,b,c)$ .

Question

Demuestra que la ecuación $a^2+b^2=c^2+3$ tiene infinitas soluciones enteras $(a,b,c)$ .

Mi intento:

$(a+1)(a-1)+(b+1)(b-1)=c^2+1$
Este formulario no ayudó, así que pensé en $ \mod 3$ pero eso tampoco ayudó. Por favor, ayuda. Gracias.

Answer 1

Si $(a,b,c)$ es una solución para $a^2 + b^2 - c^2 = K,$ donde está tu caso $K=3,$ entonces se obtiene otra solución con $$ (a+2b+2c, 2a+b+2c, 2a+2b+3c). $$ Empezando por $a,b,c>0,$ puedes aplicar esto una y otra vez, las entradas crecen, para siempre.

           a           b           c
           2           0           1
           4           6           7
          30          28          41
         168         170         239
         986         984        1393
        5740        5742        8119
       33462       33460       47321
      195024      195026      275807
     1136690     1136688     1607521
     6625108     6625110     9369319
    38613966    38613964    54608393
jagy@phobeusjunior

Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Tree_of_primitive_Pythagorean_triples

El cálculo de la matriz que muestra que el valor de mi carta $K$ no importa es $$ \left ( \begin {array}{rrr} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \end {array} \right ) \left ( \begin {array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end {array} \right ) \left ( \begin {array}{rrr} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \end {array} \right ) = \left ( \begin {array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end {array} \right ) $$ En las matrices con los 2 y los 3, normalmente el de la izquierda es el transpuesto del de la derecha en la multiplicación mostrada, pero esta vez son simétricos por lo que el transpuesto es el mismo. De todos modos, para cualquier $K,$ sólo tienes que encontrar una solución $(a,b,c)$ con $a,b,c \geq 0$ y, por preferencia, $ \gcd (a,b,c) = 1,$ y entonces este proceso da infinitas soluciones positivas para la misma $K,$ y también se mantienen primitivas (gcd 1).

Esto puede escribirse como una sola ecuación que es bastante legible en este caso, $$ \color {blue}{ (a+2b+2c)^2 + (2a+b+2c)^2 - ( 2a+2b+3c)^2 \; = \; a^2 + b^2 - c^2}. $$

Answer 2

Para que un número entero $n$ puede representarse como $c^2-b^2$ basta con que $n \not\equiv {2} \pmod {4}$ . En tal caso $n$ puede escribirse como el producto de dos divisores con la misma paridad, $n=pq$ y podemos tomar $c= \frac {p+q}{2},d= \frac {p-q}{2}$ . Así que es suficiente para probar que para un número infinito de números enteros $a$ , $a^2-3 \not\equiv 2 \pmod {4}$ . Esto sucede cada vez que $a$ es parejo.

Por ejemplo, toma $a=10$ . Podemos escribir $n=a^2-3=97$ como $1 \cdot 97$ Por lo tanto $$ (a,b,c) = (10,48,49) $$ es una solución de $a^2-3=c^2-b^2$ .

Answer 3

Ponga $a=6k^2-2$ , $b=6k$ y $c=6k^2+1$ . Luego

$$ \left (6k^2-2 \right )^2+(6k)^2= \left (6k^2+1 \right )^2+3.$$

Detrás de estas soluciones está la observación de que $$ \left ( \frac {x+y}{2} \right )^2- \left ( \frac {x-y}{2} \right )^2=xy$$ Podemos reescribir la ecuación dada como $c^2-a^2=b^2-3$ y elegir $b$ de tal manera que $b^2-3$ es el producto de dos números impar $xy$ . Esto nos permite elegir $a= \frac {x-y}{2}$ y $c= \frac {x+y}{2}$ .

Answer 4

Aunque la fórmula que publiqué. Soluciones integrales de $x^2+y^2+1=z^2$

Pensó y decidió escribir lo más simple posible. En la ecuación:

$$a^2+b^2=c^2+q$$

$q$ - se especifica en el enunciado del problema. Entonces elige una solución $a$ para que fuera posible factorizar de esta manera.

$$a^2-q=t(t+2s)$$

Así que la solución de esta ecuación siempre está ahí. Y puede ser escrita como:

$$b=s$$

$$c=s+t$$

Answer 5

Tenga en cuenta que el requisito es simplemente demostrar infinitas soluciones - no estamos obligados a encontrar todos soluciones.

Configuración $c=b+1$ vemos que $a^2 = c^2-b^2+3 = 2b+4$

Por lo tanto, para cualquier incluso $a>2$ podemos elegir $b= \frac {a^2-4}{2}$ y $c=b+1$ . Esto da infinitas soluciones según se requiera.