La evaluación de la integral indefinida $\int \frac{x^3}{\sqrt{4x^2 -1}}~dx$.

Question

Encontrar $$\int {x^3\over \sqrt{4x^2 -1}}\,dx.$$

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Vamos $2x = \sec u$, $2 =\sec (u) \tan(u) u^{'}(x).$ Entonces

$$ \begin{align*} \int {x^3\over \sqrt{4x^2 -1}}\,dx &= \frac1{16}\int {\sec^3 u\over \tan u}\tan u \sec u \, du\\ &= \frac1{16}\int {\sec^4 u} \, du\\ &= \frac1{16}\left(\tan u + {\tan^3 u\over 3} \right) + C\\ &= \frac1{16}\left(\tan (\sec^{-1} 2x) + {\tan^3 (\sec^{-1} 2x)\over 3} \right) + C. \end{align*}$$

Respuesta : $$\dfrac{\left(2x^2+1\right)\sqrt{4x^2-1}}{24}+C$$

¿Por qué es mi respuesta incorrecta ?

Answer 1

Sugerencia:

$$\tan(\sec^{-1}(x))=\pm\sqrt{x^2-1}$$

(es decir, su respuesta simplifica un poco más)

Answer 2

Una vez que llegue a $\tfrac{1}{16}(\tan u + \tfrac{1}{3} \tan^3 u) + C$, deshacerse de $u$. Desde $\sec u = 2x = 2x/1$, lo que significa $\tan u = \sqrt{4x^2 - 1}$ (dibuje un triángulo para mostrar este), por lo $$\begin{aligned}[t]\text{integral} = \tfrac{1}{16}(\tan u + \tfrac{1}{3} \tan^3 u) + C &= \tfrac{1}{16}\Big(\sqrt{4x^2 - 1} + \tfrac{1}{3} (4x^2-1)\sqrt{4x^2-1}\,\Bigr) + C \\ &= \tfrac{1}{16}\sqrt{4x^2-1} \, \Bigl(1 + \tfrac{4}{3} x^2 - \tfrac{1}{3} \Bigr) + C \\ &= \tfrac{1}{24}\sqrt{4x^2-1} \, \Bigl(2x^2+1 \Bigr) + C.\end{aligned}$$

Answer 3

$$\tan\left(\sec^{-1}(2x)\right)=\sqrt{4x^2-1}$$

Hacer esta sustitución en su respuesta, y obtendrá el resultado esperado.

Answer 4

No hay nada de malo con su enfoque; sólo hay que jugar un poco con identidades trigonométricas para ver que $\tan(\sec^{-1}2x)=\sqrt{\sec^2(\sec^{-1}2x)-1}=\sqrt{(2x)^2-1}$, etc. Pero los otros, posiblemente más fácil, manera de hacer la integral es dejar a $u=4x^2$, de modo que $du=8x\,dx$ y por lo tanto

$$\int{x^3\over\sqrt{4x^2-1}}dx={1\over32}\int{u\over\sqrt{u-1}}du={1\over32}\int\left(\sqrt{u-1}+{1\over\sqrt{u-1}}\right)du\\ ={1\over48}(u-1)^{3/2}+{1\over16}(u-1)^{1/2}+C=\sqrt{u-1}\left(u+2\over48\right)+C\\ =\sqrt{4x^2-1}\left(4x^2+2\over48\right)+C=\sqrt{4x^2-1}\left(2x^2+1\over24\right)+C$$

Answer 5

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ Con $\ds{t \equiv \root{4x^{2} - 1} - 2x\ \mbox{and}\ x = -\,{t^{2} + 1 \over 4t}}$: \begin{align} \int{x^3 \over \root{4x^{2} - 1}}\,\dd x & = {1 \over 128}\int{\pars{t^{2} + 1}^{3} \over t^{4}}\,\dd t \end{align}

Otro es $\ds{y = x^{2} \implies {1 \over 2}\int{y \over \root{4y - 1}}\,\dd y}$.