Conmutativa generadores de un grupo de

Question

Si un grupo tiene conmutativa generadores es el grupo siempre abelian?

Tengo una cuestión de cómo determinar si un grafo de Cayley de un grupo es un grupo abelian. Parece que si los generadores de conmutar a continuación, todo el grupo se abelian porque todos los elementos va a ser un "poder" de los generadores.

Answer 1

Deje $G$ ser nuestro grupo con la generación de set $(a_i)_{i\in I}$ donde $I$ es de algún conjunto de índices y supongamos que todos los $a_i$ conmuta con cada uno de los otros. Si $x\in G$ es un elemento, entonces hay índices de $i_1,i_2,\ldots,i_m$ tal que $x=a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_m}$. Deje $x,y\in G$ y supongamos que $x=a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_m}$$y=a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_n}$. Podemos demostrar que $xy=yx$ por inducción en $n$. Si $n=0$ esto significa que el $y$ es la identidad, que conmutan con todos los elementos.

A continuación podemos probar el resultado para $n=1$. Esto lo hacemos a través de la inducción en $m$. Para $m=0$ $x$ es la identidad, por lo que el resultado se mantiene. Para $m>0$ hemos $$xy=a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_m}a_{j_1}=a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{m-1}}a_{j_1}a_{i_m}$$ debido al hecho de que $a_{j_1}$ $a_{i_m}$ viaje, y entonces, por la hipótesis de inducción $a_{j_1}$ viajes con $a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{m-1}}$ se sigue que $$xy=(a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{m-1}})a_{j_1}a_{i_m}=a_{j_1}(a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{m-1}})a_{i_m}=yx$$ así, el resultado de la siguiente manera para $n=1$.

Supongamos ahora que $n>1$. Entonces tenemos $$xy=(a_{i_1}\cdots a_{i_m})a_{j_1}(a_{j_2}\cdots a_{j_n})=a_{j_1}(a_{i_1}\cdots a_{i_m})(a_{j_2}\cdots a_{j_m})=a_{j_1}(a_{j_2}\cdots a_{j_n})(a_{i_1}\cdots a_{i_m})=yx$$ La primera sostiene la igualdad ya que han demostrado ser el resultado de $n=1$ y la segunda igualdad es por la hipótesis de inducción. Por lo tanto se deduce por inducción que $xy=yx$ todos los $x,y\in G$, y por lo tanto $G$ es abelian.