En el período de la representación decimal de $n$ al $\gcd(n, 10) \neq 1$

Question

Supongamos que $n = 2^a5^bm$ donde $n > m > 1$ son enteros, con $\gcd(m, 10) = 1$, e $a, b$ son enteros no negativos.

¿Cómo hace uno para demostrar que las longitudes de los períodos de las expansiones decimales de $1/n$ $1/m$ son los mismos?

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Sé que si la longitud del período de la expansión decimal de $m$$r > 0$,$10^r\equiv 1\;(\!\!\!\!\mod m)\;$, y además, que $r$ es el menor entero positivo para el cual esta congruencia tiene...

Answer 1

[Originalmente, algunos de los contenidos que a continuación se incluyó como una especie de apéndice a la pregunta original, pero una vez que me las arreglé para completar la prueba (creo), me decidí a publicar como una respuesta.]

Si la longitud del período de la expansión decimal de $m$$r > 0$,$10^r\equiv 1\;(\!\!\!\!\mod m)\;$, y además, que $r$ es el menor entero positivo para el cual esta congruencia tiene.

Por lo tanto, para algún entero positivo $s$,$s m = 10^r - 1$. Desde $m > 1$,$0 < s < 10^r$, por lo que la representación decimal de $s$ contiene en la mayoría de las $r$ dígitos, y

$$\frac{1}{m} = \frac{s}{10^r} \sum_{k=0}^\infty 10^{-kr} = \frac{s\sigma}{10^r},$$

...donde, por la última expresión, he definido $\sigma = \sum_{k=0}^\infty 10^{-kr}$.

Ahora, definir $t = 2^{\max(0,b-a)}5^{\max(0,a-b)}$, e $u = \max(a, b)$. Entonces podemos escribir

$$\frac{1}{n} = \frac{1}{2^a5^bm} = \frac{t}{10^u}\cdot\frac{1}{m} = \frac{ts\sigma}{10^{r + u}}$$

Por supuesto, el reclamo es trivialmente cierto si $a = b$, así que vamos a suponer que $a \neq b$. Por lo tanto $t > 1$$u > 0$.

Ahora, usando el estándar de la identidad

$$ \sigma = \sum_{k=0}^\infty 10^{-kr} = \frac{1}{1-10^{-r}} = \frac{10^r}{10^r - 1}, $$

definimos $v = 10^r - 1 = 10^r/\sigma$, y deje $w$ $x$ ser tal que $0 \leq x < v$ y

$$ ts = vw + x. $$

A continuación,

$$ \frac{1}{n} = \frac{ts\sigma}{10^{r+u}} = \frac{vw\sigma}{10^{r+u}} + \frac{x\sigma}{10^{r+u}} $$

Pero, por definición de $v$, $(v \sigma)/10^r= 1$. Por lo tanto

$$ \frac{1}{n} = \frac{w}{10^u} + \frac{x}{10^{r+u}} \sum_{k=0}^\infty 10^{-kr} =\frac{1}{10^u} \left( w + \frac{x}{10^r} \sum_{k=0}^\infty 10^{-kr} \right). $$

Todo lo que queda es demostrar que el $x > 0$ o, IOW, que $v$ no divide $ts$. Desde $t$ es un poder de $2$ o un poder de $5$, mientras que el $v = 10^r - 1$, se deduce que el $\gcd(t, v) = 1$. Por lo tanto, $v|ts$ si $v|s$. Pero $v = sm$, e $m > 1$, lo $0< s < v$, y por lo tanto $v\nmid s$. Así que podemos concluir que el $v\nmid ts$, y por lo tanto, $x > 0$.