$\dfrac{\mathbb{Z}[x]}{(x^2 +5)}$ es isomorfo a $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$

Question

Deje $H : \mathbb{Z}[x] \rightarrow \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ ser la evaluación homomorphism dado por $H(f) = f(\sqrt{-5})$. Sabemos que $H$ es surjective. Quiero mostrar que $\ker(H) = (x^2 +5)$. Sé que es fácil, pero no puedo encontrar una manera de mostrar esto. Para demostrar la inclusión $(x^2 +5) \subset \ker(H)$ es fácil, así que necesito ayuda en la otra inclusión. He probado este problema utilizando dimensión de Krull, pero quiero probar esto en una forma más simple. Cualquier sugerencia será útil.

Answer 1

Tome $f \in \ker H.$ $f(x) = (x^2 + 5)g(x) + r(x),$ algunos $g(x), r(x) \in \mathbb Z[x]$ y el grado de $r(x)$ está a más de uno. Ahora $f(\sqrt{-5}) = 0 \Rightarrow r(\sqrt{-5})=0.$ Pero $r(x)$ es un polinomio de grado a lo sumo con coeficientes enteros. Por lo tanto $r(x) =0.$

Answer 2

Está claro que $(x^2+5)\subseteq \ker H$. Supongamos ahora que $f(\sqrt 5 i)=0$. Desde $f$ tiene coeficientes enteros, esto significa que $f(-\sqrt 5 i)=0$ (conjugación corrige $\Bbb R$), por lo que en $\Bbb C$ $(x-\sqrt 5i)(x+\sqrt 5i)\mid f$ y, a continuación,$(x^2+5)\mid f$. Esto significa que no es un polinomio $g\in\Bbb C[x]$ tal que $f(x)=(x^2+5)g(x)$. Por lo que está comprobado a continuación, debemos tener $g\in \Bbb Z[x]$, y por lo tanto el otro inclusión de la siguiente manera.

AGREGAR Deje $A\subseteq B$ ser anillos, y supongamos que $h(x)g(x)=f(x)$$B[x]$, y $f,g\in A[x]$, $g$ monic. A continuación,$h\in A[x]$.

Prueba Por inducción sobre $n=\deg f+\deg g$. Si $n=0$$g=1$$f=h\in A[x]$. Supongamos $\deg f+\deg g>0$. Podemos suponer que la $\deg g<\deg f$. Si $f(x)=a_0x^m+\cdots$$m-k=\deg g$, $\tilde f(x)=f(x)-a_0x^kg(x)$ tiene el grado $<\deg f$$\tilde f(x)=g(x)(h(x)-a_0x^k )$. Por inducción, $h(x)-a_0x^k \in A[x]$$h(x)\in A[x]$.